論數學題目難度的主觀性及對解題教學的啟示

張清仕

【摘要】題目的客觀難度與教師和學生對題目的難度體驗并非一一對應的關系，不同知識背景和能力直接影響數學題目難度的體驗.題目難度實際上同時具有客觀性和主觀性兩種屬性，而一般難度評價模型中包含的大多是體現平均意義上的客觀因素，很少包含難度的主觀性因素.文章從認識論的視角，把解題過程中主觀體驗到的難度歸為四個可以相對識別的類型區間，教師和學生可以在相對一致的難度語境內進行對話，從而減少師生之間的溝通障礙和誤讀幾率，增強解題教學的效果.

【關鍵詞】題目難度，主觀體驗，解題教學

引 言

數學題目的難度不僅決定了能否有效區分學生的不同能力，而且是數學教學效果評估中的一個重要參考因素.一般認為，數學題目的難度屬于一種客觀標準.比如，對高考試題的難度分析已經成為評價試卷質量的重要方面.但是在實踐中，不同的人對數學題目難度的認識卻有很大不同：數學教師感知一道數學題目難不難，主要通過學生關于該題的平均成績來判斷；而對單個學生而言，一道題目的難與易，做題所花時間長短很可能是其感知題目難度的一個主要指標.由于不同教師和學生或者同一個學生在不同學習階段對難度的認識也有差異，所以我們一直在談論的數學題目的難度可能并不只是一種客觀標準，也包含了個體對解題的主觀體驗.德國哲學家石里克認為體驗和認知存在重大差別，對一個有著解題經驗的人來說，數學題目的難度大多屬于一種解題體驗而非認識，而對于沒有任何數學基礎的人來說，則很難真正體驗難度，更無法認識難度.正如波利亞所說：“我們更多的是靠‘感覺而非清楚的論證.”看似沒有任何異議的客觀性的“難度”概念已經成為了一個認識論意義上的教學理論和實踐問題.因此，文章主要分析討論數學題目難度的認識論本質及對解題教學的影響問題，即如何認識解題過程中體現的主觀性難度？如何看待難度客觀性和主觀性之間的關系？在教學實踐中教師能否通過認識難度的主觀性來改善解題教學的效果？

一、何為數學題目的難度

為了限定數學題目的范圍，文章對數學問題和數學題目進行了區分：數學問題既包括已經解決的，又包括尚未解決的.數學題目特指為了考查人們數學能力而專門設置的數學問題，并且這些數學問題已經有標準答案.數學題目都是已經解決的.文中所說的難度是指解數學題目的難度.

難度的完整表述為難易程度，一件事情的難度，用經濟學術語來解釋的話，是指完成一件事情需要付出的成本，當付出的成本越大，意味著難度也越大.解一道數學題需要付出哪些成本呢？這需要分兩種情況來看，一種是學生最終給出了正確答案，另外一種是學生未能給出正確答案.從解題時間看，如果完成了解題過程，那么完成解題的時間就是最直接的、可度量的成本；如果未能完成解題，那么時間就無法成為難度的度量標準.由于解題過程是一個十分復雜的認知和推理過程，無法完成解題的原因可能出現在解題過程中的任一階段.

比如，閱讀是解題的第一個步驟，以審題階段的讀題為例.按照羅增儒的劃分，解題過程可分為審題、思路探求、書寫解答三個階段，而僅審題階段又可分為四個步驟：①讀題—弄清字面含義；②理解—弄清數學含義③表征—識別題目類型；④深化—接近深層結構，而未能完成解題的原因可能出現在任意階段.假設試卷上有一道字數超過500字的應用題，那么學生的第一個任務就是用最快的時間獲取題目的字面含義，也就是弄清題目在講一個什么樣的故事.這種情況下，假設學生都具有閱讀字面意義的基本能力，即假設每個人都有一個閱讀速度v，無論v值的大小，都能在一定時間內完成.因此，獲取時間就可以成為度量題目閱讀難度的標準.但是對于審題的第二個步驟—理解，就很難用時間來衡量了.

例1 已知x2∈{1，0，x}，求x.

這是一道基礎題，讀懂“字面含義”很容易，關鍵是從“符號信息”x2∈{1，0，x}中理解“數學含義”.這種理解的基礎是對集合概念的掌握程度，對于完全沒有學習或者理解集合概念的學生來說，再長時間也無法跨越這個障礙.對于已經深刻理解集合概念的學生來說，理解時間是瞬時的.由此，定義理解速度來區分難度就變得非常困難，這種情況無法用時間來衡量題目的難易程度，只有“理解與不理解”的二元關系.當然，這并不意味著這種難度是無法衡量的，我們可以從題目本身出發，通過與其他題目中的理解階段進行對比，對于同一個學生，能夠準確寫出理解含義的形式，則該題目審題過程中的理解較為容易，反之難度較大.

對上述兩個階段難度的分析可以看出，數學題目的難度既包含可用時間尺度度量的難度，也包含不能用時間尺度度量的難度.這意味著，對于一道完整的題目而言，直接準確地認識難度是非常困難的，需要通過類似計算股市指數一樣的計算方式，才可能將這兩種不同性質的難度整合到一起.

比如，鮑建生等人認為數學題難度有多個因素，主要包括探究、背景、運算、推理和知識量5個因素，這些因素是題目本身蘊含的客觀表現，但是這些因素本身并不能完全反映數學題目的難度.比如，背景和知識量這兩個因素具有相對性，不同的學生或者同一學生的背景和知識量并非恒定不變的.對于知識背景豐富的學生，題目所體現的難度可能相對較低，反之對于知識背景匱乏的學生，題目所含的背景可能更加復雜，難度也更大.也就是說，對一個數學題目難度的估計是一個非常復雜的過程，僅僅靠分數，得到的只是一個題目難度的總體結果，且這個結果只能作為分析學生整體數學學習情況的依據.而一般難度評價模型中的因素都只是一種平均意義的客觀因素，這些難度評估方法難以反映難度的主觀性，也很難作為教學實踐中提高具體某一項能力的精確指針.

關于難度，波利亞認為，第一，題目的難度隨著研究領域的擴大而增加；第二，題目的難度會隨著我們尚未掌握，但在解題中又必須用到的條件的數目增大而增加；第三，題目的難度通過考試進行統計分析.由于波利亞沒有區分數學問題和數學題目，因此第一點對于教學的意義不大；對于第二點，這就如同讓一個只懂加法的學生去做乘法題目一樣，不能為我們提供更多有價值的知識.但是他指出前兩種方式是預先判斷，而具有統計學特征的考試則屬于預后判斷，這一點卻十分重要，因為預先判斷與主體對難度的體驗方式直接相關.從表征難度的方式看，難度主觀的體驗主要有三種：

第一，學生的主觀表述.難度最直接的表現是學生的做題感受，當一個學生完成一道數學題目，無論是做對了還是做錯了，這種做題的難度感受很多時候只是一種直觀的、難以言狀的感覺.這種難度體驗的最大問題在于表述的模糊性.當教師向學生提問時，學生大多數只能說出一些零散的模糊感受，比如，不太懂題意或者不知道從哪里著手等.由于表述的準確與否取決于學生的知識背景、表達能力和理解能力等一系列因素，需要教師引導來提高這種表述的準確性.這點非常類似于病人找醫生看病的情況，當病人某個部位疼痛時，醫生往往會引導式的發問，疼痛是壓痛、刺痛、鎮痛或者其他感受等.因此，學生根據自己解題過程中體驗感受來表述時，需要有教師的引導發問，特別是在學生未能正確完成題目時更為重要.

第二，對學生書寫過程的分析.學生的解題過程直接反應其解題的思維過程，我們從學生的解題書寫過程可以發現學生的思維變化路徑.這一點在幾何證明過程中體現的最為明顯.幾何證明的書寫過程是學生思路演進的過程，通過分析可以獲取學生在哪個步驟出現了停頓，在哪個節點出現了邏輯斷裂，這樣就可以分析題目難度對學生的影響.與分析學生的主觀表述相比，對書寫過程分析的客觀性和可靠性更強，更有利于教師掌握學生的真實情況.

第三，對題目結構本身的分析.題目文本本身也是一個會說話的主體.在設計題目時，難度一定是出題者要考慮的重要因素.一般而言，出題者通過對完整命題的論證過程進行分析（劃定論證區域）、切割（對特定區域實施切割）、重組（確定哪些是條件、哪些是所求），最后形成一道數學題目.當切割的條件越多或者切割的越深時，題目的難度也就越大.因此，通過分析題目本身的結構特點，推測出題者切割和重組的方式，也可以確定題目的難度.

二、題目難度的主觀性認識

通常情況下，與數學題目相關的主體類型有出題者、學生和教師（知道答案，并對學生進行評判的人），其中最廣泛的關系是學生和教師.不同的知識背景和經驗，造成了學生和教師二者對難度體驗的不同認知，而題目難度的認識主觀性只能存在于二者認知的一致性區域內，而要找出這種一致性，必須從認識論的層面去分析.當我們思考一個問題時，首先必須對問題進行準確理解，其次選擇思考分析問題的路徑，對思考對象進行推理或者計算，最后得出結論.

如圖1，在解題的整個思考分析過程中，難度可能出現在理解問題、選擇徑路、推理計算、得出結論四個認識階段.無論是學生還是教師，當我們談論到難度時，在這四種難度認識分類的框架下進行討論，會很快形成較為一致的認知感受.

以選擇路徑為例，其難度可進一步細分為：無選擇型和不確定選擇型兩種.無選擇就是我們通常所說的題目不知道如何下手，不確定選擇就是知道多種處理方法，但不知道該用那種方法.下面通過一組例題加以詳細說明：

例2的選擇路徑有3條，而例3和例4的選擇路徑只有1條.如果學生一種方法都不知道，那么難度就屬于無選擇型；如果學生知道三種方法，但不知道例3、例4該用哪種方法，那么就屬于不確定選擇型難度.

從上述的例子中可以看出，這種選擇困難更多地表現為一種難題體驗，很難歸為現有難度評價模型中的某個類型指標.對于學生而言，在掌握了例2中的方法后，不一定能成功解決例3和例4的題目，由此學生頭腦中會形成一種模糊的難度體驗.相反，從教師的角度看，例3和例4的解決方法已然在例2中有所體現，那么學生解決例3和例4時遇到的困難可能主要表現為計算能力，進而忽視了認識過程中“路徑選擇”所帶來的困難.對于學生和教師而言，上述題目的難度都可以分為這兩種類型，而教師和學生通過區別和認識這兩種類型就能精準對接學生需求與教學目標.

因此，無論什么類型的難度，當我們把主觀體驗的難度分別歸為這四個類型中的一個類型，那么這些類型實質上可以作為相對識別題目難度主觀性的置信區間，教師和學生至少可以在相對一致的語境區間內進行對話，這就大大減少了師生之間的溝通障礙和誤讀幾率，從而提升解題教學的效果.

三、難度主觀性對解題教學的啟示

（一）對數學題目難度的不一致性認識是影響解題教學效果的重要因素

很多情況下，教師和學生對難度認識存在的主觀性差異，是造成教學效果不佳的原因之一.學生自身對題目難度的認識存在先天困難（難度表述的模糊性），同時教師對難度的認識與學生往往又存在顯著的差異，那么教師在幫助學生跨越難度時，往往會偏離二者的交匯點.當教師和學生的難度認知一致性越大，教師和學生在解題教學過程中就可以形成一種同步效應，從而改善解題教學的效果.

（二）對題目難度的深度分析應成為解題教學的重要準備環節

教師有時候也不能正確認識難度.事實上，具有可操作性的解題辦法的題目，往往是較為容易的，難度集中在判斷題目屬于哪一類，而分類的依據也是可操作性的，二者本質上是一致的.假如學生不知道操作的程序，就會覺得很難，而這種難度是很容易跨越的.題目的難度往往表現為兩個方面：一種是沒有固定模式的題目，比如，較為困難的幾何證明題；另外一種是方法太多，不知道如何運用這些方法，比如，求函數值域時需要用到的各種方法.因此，教師在研究題目的難度時，應盡量從認識論的角度出發，按照圖1所示的階段對難度進行歸類，以期在課堂上能夠直接擊中學生產生困難的要害，然后在此基礎上再進行細致的講解分析.

（三）通過精確引導使學生跨越難度是解題教學的重要目標

教師在教學提問時，往往太過籠統.比如，教師經常問：“這道題難嗎？”這個發問應該變為“在解這道題時，哪個環節出現了問題？屬于何種問題？”通過精確提問，引導學生分析自己所處的解題環境，進而使學生明白如何突破這個困境.要想達到精確提問，教師不僅需要對題目本身進行剖析，而且重要的是對解題的主觀認識路徑（不是解題本身的路徑，而是圖1中的一般性路徑）進行分析.教師要對解題過程和學生知識能力進行比較，確定學生無法克服的難度在哪里，這樣才能取得事半功倍的效果.

對數學題目難度的認識論分析，意指不同主體對數學題目難度的一種認識，分析難度在不同認知主體中的認識差異以及可能存在一致的領域，從而確定難度的主觀性.一個題目包含的不同解題方法是客觀的，但如何掌握和理解這些解題方法卻體現了主觀因素.通過研究數學題目難度的主觀性，可以使得教師和學生能夠更好地度量、理解和控制難度，最終達到更好的教學效果.

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