向量法在高中數學解題教學中的有效應用

李鹿雷

【摘 要】 ?向量作為近代數學中的基本概念之一，將數與形融為一體.在向量的運算中，不僅需要考慮數的問題，同時需要將量結合其中，相對于傳統的運算方式來說，向量運算具有復合性特點.在高中數學解題中，借助向量法，能夠幫助學生構建代數與幾何的關系，對問題進行分析，明確問題解題思路，幫助學生快速解題.高中數學解題中可以使用向量法解題的題目有很多，如三角函數、不等式、解析幾何等.本文分析向量法在高中數學解題中的應用策略.

【關鍵詞】 ?高中數學；向量法；解題策略

1 有效應用向量法解決不等式類試題

不等式屬于高中數學課程中的重要知識點，也是高考中的必考點之一，相關題目的解題技巧較強，有的題目比較特殊，直接運用不等式知識求解答的話過程較為煩瑣，而有效應用向量法則往往能夠起到意想不到的效果，快速得到正確答案.對此，高中數學教師在不等式解題教學中應指引學生打破思維定式，運用向量法來解題，讓他們掌握高效的解題方法 [1] .

例1 ??已知a 2+b 2=1，m 2+n 2=1，那么am+bn的取值范圍是什么？

解析 ??這是一道典型的不等式類試題，教師可以指導他們使用向量法進行解題，使其通過構造向量的方式簡化解題過程.

具體解題方式如下：根據題意設 u =（a，b），

v =（m，n），

根據a 2+b 2=1，m 2+n 2=1，

能夠得到丨 u 丨＝丨 v 丨＝1，

則 u · v ＝am+bn，

結合平面向量數量積的定義可以得到

u · v ＝| u | | v | cos θ＝ cos θ，

因為0≤θ≤ π ，所以－1≤ cos θ≤1，

故am+bn的取值范圍是[－1，1].

2 有效應用向量法解決三角函數試題

在處理三角函數時，除運用三角函數自身方面的知識以外，教師還可以提示他們有效應用向量法，使其把握好題目中同向量有所關聯的點，利用向量間的夾角運算來解答題目，從而找到更為簡潔的解題思路，提高解題效率.

例2 ??已知 cos α+ cos β－ cos （α+β）＝ 3 2 ，那么銳角α，β的值分別是什么？

解析 ??在解題時，要求學生對題目結構進行分析，構造向量，利用向量的數量積公式，完成題目解答.通過向量法可以簡化解題過程，提高學生解題效率.

具體解題方式如下：

（1－ cos β） cos α+ sin α sin β= 3 2 － cos β，

通過對結構的觀察發現可以使用向量數量積公式展開計算，

設向量 a =（1－ cos β， sin β），向量 b =（ cos α， sin α），

故 a · b = 3 2 － cos β，| a || b |= 2－2 cos β ，

由于| a · b |≤| a || b |，

能夠得到 ?3 2 － cos β ≤ 2－2 cos β ，

解之得 cos β＝ 1 2 ，所以說β＝ ?π ?3 ，然后把β的值代入已知等式中就能夠求出α的值，即為α＝ ?π ?3 .

3 有效應用向量法解決特殊方程試題

當遇到部分難度較大或者比較特殊的方程類試題時，高中數學教師應當指導學生有效應用向量法，使其在做題過程中減少對題目內容的思考量，快速找到恰當的解題思路，讓他們快速解答試題 [2] .

例3 ??解方程 x ＋ y－1 ＋ z－2 ＝ 1 2 （x＋y＋z）.

解析 ??當看到方程中含有多個根號時，學生往往不知道該如何下手，此時教師可提示學生利用向量法解題，根據題目中的信息，構建出合適的向量，將方程問題轉化成為向量問題，省去一些復雜的運算步驟，從而快速求出準確答案.

具體解題方式如下：設向 m ＝（ x ， y－1 ， z－2 ）， n ＝（1，1，1），

則 m ??2＝| m | 2＝x+（y－1）+（z－2）

=（x+y+z）－3，

所以 m · n ＝ x ＋ y－1 ＋ z－2 ，

故原方程能夠轉化成 m ??2+ n ??2=2 m · n ，

即為（ m － n ） ?2=0，由此說明 m = n ，

解之得x＝1，y＝2，z＝3.

4 有效應用向量法解決解析幾何試題

在高中數學課程教學中，解析幾何是一類難度較大的知識，尤其是圓錐曲線中會面對一些同圓有關的試題，以及點與圓的位置關系，教師應引導學生采用向量法，使其把數學問題轉變為數量間的積，使其簡化運算過程，降低解析幾何試題的解題難度.

例4 ??已知橢圓C： x 2 m 2 +y 2 =1，該橢圓的左、右兩個焦點分別為F1與F2，直線l：x－my－ m 2 2 =0，且m＞1.

（1）當直線l經過橢圓右焦點F2時，求解直線l的方程；

（2）直線l與橢圓C的交點是A、B，設三角形AF 1F2的重心是G，三角形BF 1F2的重心為H，原點O在以線段GH作為直徑的圓內，求解實數m的取值范圍.

解析 ??第（1）問較為簡單，這里不作分析，關鍵是第（2）問，結合對題干信息的閱讀與分析可知，由于原點O在GH為直徑的圓內，可以得出∠GOH為鈍角，則OG ?·OH ?＜0，利用圓的性質、向量以及重心性質，構建相應的方程組，找出解題的關鍵，將復雜問題轉化為簡單的問題.

具體解題過程如下：（1）略.

（2）設A與B坐標分別是（x1，y1），（x2，y2），

根據題意可知x=my+ m 2 2 ， x 2 m 2 +y 2 =1，

據此建立一個方程組，消元后得到

2y 2+my+ m 2 4 －1=0，

根據Δ＝m 2－8 ?m 2 4 －1 =－m 2+8＞0，

得到m 2＜8，

則y1+y2=－ m 2 ，y1y2= m 2 8 － 1 2 ，

故OA ?·OB ?＝（m 2+1） ?m 2 8 － 1 2 ?＜0，

解之得1＜m＜2.

5 有效應用向量法解答立體幾何問題

在高考數學中，立體幾何是必考內容之一，解題思路通常分為兩種模式，一種是直接利用立體幾何自身的知識來求解，另外一種是采用向量法進行求解，假如找到空間直角坐標系的原點，運用向量法更是具有事半功倍的作用.這就要求高中數學教師應該為學生講解向量法解答立體幾何試題的技巧，指導他們有效應用向量法證明線面垂直、面面垂直于二面角.

例5 ??已知在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，它的底面ABCD是一個菱形，其中∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ，請證明CC1與BD是垂直關系.

解析 ??這是一道典型的立體幾何異面直線垂直問題，教師可以指導學生利用向量法進行證明，根據垂直直線的向量和為零，利用向量公式和定理，完成題設的證明.

具體證明方式如下：根據題意可設CD ?＝ a ，CB ?＝ b ，CC1 ?＝ c ，由于底面ABCD是一個菱形，

故 ?a ?= ?b ?，所以BD ?＝CD ?－CB ?＝ a － b ，

由于CC1 ?·BD ?＝ c · （ a － b ）＝ c · a － c · b = ?c ???a ??cos θ－ ?c ???b ??cos θ=0，

據此可以得知CC1 ?與BD ?是垂直關系，那么CC1與BD同樣是垂直關系.

參考文獻：

[1] 陳蘇平.高中數學解題中向量法的運用[J].數理化解題研究，2022（07）：36-38.

[2]徐波.探討向量法在高中數學解題中的應用[J].試題與研究（高考版），2020（06）：24.