高中數學教學中函數試題的解題技巧

李靜 張軍

【摘 要】 ?在高中數學教學中，函數作為重要的知識內容，包含有三角函數、指數函數、反比例函數以及冪函數等.在高考數學中，函數是重要的考查內容之一，而且題目類型多種多樣.因此，在高中數學教學中，要求學生掌握函數解題技巧，有著重要的作用和意義.作為數學教師，需要加強函數解題技巧講解，結合函數例題引導學生探究，明確解題思路和技巧，逐漸培養學生函數解題思維，進一步提高學生解題能力.本文結合函數例題分析解題技巧，以供參考.

【關鍵詞】 ?高中數學；函數；解題技巧

1 函數定義域類試題解題技巧

定義域是函數三要素之一，是對應法則的作用對象，指的是函數自變量的取值范圍，即對于兩個存在函數對應關系的非空集合D、M，集合D中的任意一個數，在集合M中都有且僅有一個確定的數與之對應，則集合D就是函數的定義域.

例1 ??已知函數f（ 3 ?sin x cos x+3 sin ??2x）的定義域是 ??π ?2 ， 2 π ?3 ?，那么函數f 2 x－1 + 1 2 ?的定義域是什么？

解析 ??這道題主要限制條件就是原函數的定義域是已知的，當對函數式進行轉化時一定要等價變形，并注重自變量的取值范圍是否發生相應改變，如果出現參數時，要對參數進行分類討論，以免出現答案不完整或者不正確的情況.

具體解題方式如下：因為函數f（ 3 ?sin x cos x+3 sin ??2x）的定義域是 ??π ?2 ， 2 π ?3 ?，所以可以假設

t= 3 ?sin x cos x+3 sin ??2x

＝ 3 ?sin ?2x－ ?π ?3 ?+ 3 2 ∈ ?3 2 ，3 ，

由此求得函數f（x）的定義域是 ?3 2 ，3 ，

然后讓s=2 x－1 + 1 2 ，而f（s）所對應的函數關系仍然是f（x），

由此能夠得到s=2 x－1 + 1 2 ∈ ?3 2 ，3 ，結合這一式子就能夠推導出s∈ 1， log ?25 ，

從而說明函數f 2 x－1 + 1 2 ?的定義域就是 1， log ?25 .

2 函數單調性類試題解題技巧

函數的單調性又稱作函數的增減性，可以定性描述在一個指定區間內，函數值變化與自變量變化之間的關系，當函數f（x）的自變量在其定義域內增大或者減小時，函數值f（x）也隨之增大或者減小，就稱該函數是在該區間上具有的單調性.

例2 ??已知函數f（x）= log ?9 x+8－ a x ?在定義域[1，＋∞）上為增函數，那么a的取值范圍是什么？

解析 ??處理這一題目時，題干中明確指出該函數在這個定義域內是增函數，所以學生就要根據增函數的定義進行列式分析，然后梳理解題過程中要安排幾個重要步驟，使其結合增函數的形狀展開求解，最終讓他們輕松求出a的取值范圍.

具體解題方式如下：由于函數f（x）= log ?9 x+8－ a x ?在定義域[1，＋∞）上為增函數，因此根據增函數的定義能得到在定義域[1，＋∞）上，對于任意的x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），

據此能夠得到

log ?9 x1+8－ a x1 ?＜ log ?9 x2+8－ a x2 ?，

即為x1+8－ a x1 ＜x2+8－ a x2 ，

則（x1－x2） 1+ a x1x2 ?＜0，

因為x1＜x2，故x1－x2＜0，

那么1+ a x1x2 ＞0，化簡、變形以后得到

a＞－x1x2 ，

又因為x2＞x1≥1，所以說如果想讓a＞－x1x2 恒成立，只需a≥－1即可，

再結合增函數的性質可得1+8－a＞0，故a＜9，綜合起來a的取值范圍是[－1，9）.

3 函數奇偶性類試題解題技巧

函數的奇偶性在高中數學函數解題中比較常見，對學生的邏輯思維能力有著較高的要求，教師可指導他們按照以下步驟進行：確定函數的定義域；判斷定義域是否關于原點對稱；如果是，確定f（x）與f（－x）的關系；假如不是，表明既不是奇函數，也不是偶函數；最后得出準確結論 [1] .

例3 ??請判斷函數

f（x）＝ ?－x 2+x，x>0，x 2+x， ??x≤0 ?的奇偶性.

解析 ??本題題干簡潔明了、主題突出、意圖明顯，學生需先求出該函數的定義域，再根據定義域是關于原點對稱的形式，判斷f（x）與f（－x）兩者之間的關系，根據關系得出該函數的奇偶性.

具體解題方式如下：根據題意可以知道函數f（x）的定義域是 R ，然后展開分類討論，

當x＞0時，f（x）=－x 2+x，－x＜0，此時f（x）＝－f（x）；

當x＜0時，f（x）=x 2+x，－x＞0，此時f（－x）＝－f（x）；

當x=0時，f（0）＝－f（0），綜合起來可得該函數的定義域是關于原點對稱的，并且f（－x）＝－f（x） ，所以說是一個奇函數.

4 函數求最值類試題解題技巧

函數最值分為最小值與最大值兩種情況，最小值即定義域中函數值的最小值，最大值即定義域中函數值的最大值，幾何意義是函數圖象的最低或者最高點的橫坐標就是該函數的最小值或最大值.在高中數學解題教學中，當處理函數求最值類題目時，教師需提醒學生注意函數的定義域，讓他們結合具體定義域求出函數的最小值或最大值.

例4 ??已知函數f（x）是定義在 R 上的奇函數，且滿足以下條件：（1）對于任意的x，y∈ R ，都有f（x+y）=f（x）+f（y）；（2）當x＞0時，f（x）＜0，且f（1）=－669，那么函數f（x）在區間[－3，3]上的最大值與最小值分別是什么？

解析 ??這是一道典型的求抽象函數最值的問題，由于題目中沒有給出具體的函數解析式，通常是通過研究函數的單調性來確定最值，而對于抽象函數單調性的證明，一般是直接采用定義法進行直接證明.

具體解題方式如下：在區間[－3，3]上設x1＜x2，根據條件（1）可得

f（x2）=f［（x2－x1）+x1］

=f（x2－x1）+f（x1），

即為f（x2－x1）=f（x2）－f（x1），

有x2－x1＞0，

根據條件（2）可得f（x2－x1）＜0，

就是f（x2）－f（x1）＜0，

則f（x1）＞f（x2），由此得到函數f（x）在 R 上單調遞減，那么f（x）的最大值是

f（－3）=－f（3）=－f（1+2）

=－f（1）－f（1+1）=－3f（1）=2007，

最小值是f（3）＝－2007.

5 函數求值域類試題解題技巧

在處理高中數學函數值域類試題時，一般不直接解決原問題，而是先對問題進行適當的轉化與變形，使之成為容易解決的問題，幫助學生準確找到解題的切入點，讓他們順利求出函數的值域 [2] .

例5 ??求函數f（x）=3+ 2－3x 的值域.

解析 ??本題直接給出一個函數解析式，求該函數的值域，處理這類試題時，關鍵之處在于根據函數解析式的不同特點選擇相應的解題方法，解答這一題目時可以根據算式平方根的性質先求出函數解析式中根號部分的值域，再求出整個式子的值域，這一方法簡潔明了，計算量較少，準確率很高.

具體解題方式如下：由算式平方根的性質得知2－3x≥0，所以綜合起來可得3+ 2－3x ≥3，即為函數法f（x）的值域就是[3，＋∞].

參考文獻：

[1] 董叢叢.高中數學函數題目的解題技巧淺析[J].神州，2021（05）：190-191.

[2]程志慧.高中數學中函數的解題技巧與方法[J].數學學習與研究，2020（22）：150-151.