有關(guān)函數(shù)單調(diào)性在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中的實(shí)踐運(yùn)用

黃倩

【摘 要】 ?函數(shù)是初、高中階段數(shù)學(xué)教學(xué)中不可忽視的一項(xiàng)重要教學(xué)內(nèi)容，幾乎貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)課程體系，是日常學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)之一，也是高考中的一個(gè)常考點(diǎn)，備受廣大師生的關(guān)注.在函數(shù)中涉及的知識(shí)點(diǎn)也較多，單調(diào)性即為其中一個(gè)，在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，教師可以指引學(xué)生運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性解決問(wèn)題，讓他們充分體會(huì)函數(shù)知識(shí)的重要性和價(jià)值.本文針對(duì)函數(shù)單調(diào)性如何在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中運(yùn)用做探討，同時(shí)分享一些實(shí)踐案例.

【關(guān)鍵詞】 ?函數(shù)單調(diào)性;高中數(shù)學(xué);解題教學(xué)

函數(shù)單調(diào)性又稱為函數(shù)的增減性，指的是當(dāng)某一函數(shù)的自變量在其定義區(qū)間內(nèi)增大或者減小時(shí)，函數(shù)值也隨之增大或者減小，屬于函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，在一些題目的求解中合理應(yīng)用，具有化繁為簡(jiǎn)、化難為易的功效.在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)函數(shù)單調(diào)性的廣泛運(yùn)用，讓學(xué)生以深刻理解函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)為基本前提，根據(jù)實(shí)際題目靈活解題，使其快速找到解題的突破口，形成簡(jiǎn)潔、清晰的解題思路，使他們的整體解題水平更高.

1 運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的定義解答題目

定義屬于函數(shù)單調(diào)性的基礎(chǔ)性知識(shí)，高中生通過(guò)學(xué)習(xí)都了解函數(shù)單調(diào)性的定義，這是運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行解題的基本方法，不過(guò)前提是他們需熟練掌握定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟，當(dāng)遇到帶有無(wú)理式的函數(shù)試題時(shí)，要注重?zé)o理式的有理化處理.在運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性解答高中數(shù)學(xué)試題時(shí)，定義法也是一種必須要考慮到的方法，特別是有的題目明確指出要使用定義法，這時(shí)學(xué)生就要充分掌握運(yùn)用定義法證明函數(shù)單調(diào)性，從而高效解題 [1] .

例1 ??（1）已知函數(shù)f（x）=x+ x 2+2 （x∈ R ?），用單調(diào)性定義證明函數(shù)y=f（x）在 R 上是單調(diào)遞增函數(shù)；（2）已知函數(shù)f（x）=ax+ b x （a>0，b>0），嘗試判斷該函數(shù)的單調(diào)性，并求出它的單調(diào)區(qū)間.

解析 ??學(xué)生讀完題目以后，發(fā)現(xiàn)第一道題目在題干中直接說(shuō)明要用到函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明，而第二道題目則是明確要求判斷出這一函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間，所以均要用到函數(shù)單調(diào)性知識(shí).

（1） ?證明 ??假設(shè)x1，x2∈ R ，其中x1＜x2，

所以f（x1）－f（x2）=x1+ x 21+2 －x2－ x 22+2 =x1－x2+ （x1－x2）（x1+x2） ?x 21+2 + x 22+2 ?＝（x1－x2） ?x 21+2 +x1+ x 22+2 +x2 ?x 21+2 + x 22+2 ?，

由于x1－x2<0， x 21+2 +x1>0， x 22+2 +x2>0， x 21+2 + x 22+2 >0，據(jù)此說(shuō)明f（x1）

（2） ?解 ??因?yàn)閒（x）=ax+ b x （a>0，b>0）的導(dǎo)數(shù)是f′（x）=a- b x 2 = ax 2-b x 2 ，令f′（x）>0，得出x> ?b a ?，或x<- ?b a ?，所以f（x）的遞增區(qū)間是 -∞， ?b a ??， ??b a ，+∞ ?，

減區(qū)間是 - ?b a ?，0 ， 0， ?b a ??.

2 使用函數(shù)單調(diào)性解答方程類題目

高中生學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性這一知識(shí)點(diǎn)時(shí)，已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)基礎(chǔ)方程與函數(shù)等相關(guān)知識(shí)，針對(duì)求解方程類的題目已經(jīng)掌握一定的思路和方法，可以自行歸納函數(shù)與方程的關(guān)系，而且求解方程本身就是一個(gè)求解等式的過(guò)程，涉及多個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，相應(yīng)的求解方法多種多樣.在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，處理一些比較特殊的方程或者高次方程類的試題時(shí)，教師可引領(lǐng)學(xué)生使用函數(shù)單調(diào)性知識(shí)進(jìn)行求解，使其嘗試運(yùn)用新的方法解方程，由此拓展他們的解題思路 [2] .

例2 ??已知方程x 3+2x+（x+1） 3+1=0，那么該方程的解是什么？

解析 ??因?yàn)轭}目中提供的方程是一個(gè)典型的高次方程，解題難度相對(duì)比較大，學(xué)生并沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)求解高次方程的方法與技巧，假如參照解低次方程的方式過(guò)程較為復(fù)雜、步驟繁多，容易出現(xiàn)錯(cuò)誤情況，不僅影響他們解題的正確度，還不利于他們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程樹(shù)立自信心，這時(shí)教師可以提示學(xué)生使用函數(shù)單調(diào)性來(lái)解答這一方程題目，讓他們把原方程進(jìn)行變形后結(jié)合函數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解.

解 ??把原方程進(jìn)行變形，得到x 3+x+［（x+1） ?3+（x+1）］=0，

因?yàn)閒（x）=x 3+x在區(qū)間 －∞，+∞ 上是一個(gè)單調(diào)遞增函數(shù)，還是一個(gè)奇函數(shù)，

那么能夠把原方程轉(zhuǎn)變成f（x）+f（x+1）=0，

即為f（x+1）=－f（x）=f（－x），

由于f（x）是一個(gè)單調(diào)遞增函數(shù)，

所以x+1=－x，解得x=－ 1 2 ，即該方程的解是－ 1 2 .

在解答這一方程題目時(shí)，通過(guò)合理運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性可以有效簡(jiǎn)化方程的求解過(guò)程，從本質(zhì)上來(lái)講應(yīng)用的就是函數(shù)單調(diào)性的基本概念和性質(zhì).

3 采用函數(shù)單調(diào)性解答不等式題目

不等式作為數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的一個(gè)關(guān)鍵內(nèi)容，學(xué)生從小學(xué)階段就開(kāi)始接觸基本的不等式知識(shí)，隨著學(xué)習(xí)階段的提升，所研究的不等式知識(shí)也越來(lái)越深?yuàn)W，題目難度更是有所增加，對(duì)他們的知識(shí)應(yīng)用能力與解題能力的要求也更高.針對(duì)高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練來(lái)說(shuō)，當(dāng)遇到一些特殊或比較復(fù)雜的不等式題目時(shí)，教師可提示學(xué)生采用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行求解，并結(jié)合不等式的分類、換元法、數(shù)形結(jié)合等處理試題，使其找到更為簡(jiǎn)便的解法，讓他們得到正確結(jié)果 [3] .

例3 ??已知a，b，c∈ R ， a <1， b <1， c <1，請(qǐng)證明ab+bc+ca>－1.

解析 ??這是一道常見(jiàn)的不等式類試題，如果學(xué)生直接運(yùn)用不等式知識(shí)進(jìn)行證明，雖然也能夠把結(jié)論證明出來(lái)，但是過(guò)程異常復(fù)雜，容易犯錯(cuò)，比較耗費(fèi)精力與時(shí)間，教師可以提醒他們采用函數(shù)單調(diào)性來(lái)證明，使其找到較為簡(jiǎn)便的證明方式.

解 ??可以把a(bǔ)視作變?cè)獂，由此構(gòu)造出函數(shù)f（x）=（b+c）x+bc+1，

這時(shí)只需要證明x∈（－1，1）時(shí)，f（x）＞0恒成立即可，

當(dāng)b+c=0時(shí)，f（x）=1－b 2>0恒成立；

當(dāng)b+c≠0時(shí)，函數(shù)f（x）=（b+c）x+bc+1在x∈（－1，1）是單調(diào)的，

因?yàn)閒（1）=b+c+bc+1=（b+1）×（c+1）>0，

f（－1）=－b－c+bc+1=（1－b）（1－c）>0，

綜上可以說(shuō)明f（x）=（b+c）x+bc+1在x∈（－1，1）上的值是恒大于0的，

所以當(dāng)a，b，c∈ R ， a <1， b <1， c <1，ab+bc+ca>－1恒成立，題目中的結(jié)論得以證明.

4 借助函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取值范圍

在高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，函數(shù)教學(xué)的重要性不言而喻，不僅涉及大量的知識(shí)要點(diǎn)，在解題環(huán)節(jié)也有著廣泛運(yùn)用，除能夠用來(lái)處理函數(shù)自身方面的問(wèn)題以外，還適用于其他數(shù)學(xué)試題的求解，不過(guò)學(xué)生要牢固掌握函數(shù)中的變化特征，自然也包括函數(shù)的單調(diào)性，他們還需具備一定的解題技巧.對(duì)此，高中數(shù)學(xué)教師可以指導(dǎo)學(xué)生借助函數(shù)單調(diào)性處理參數(shù)取值范圍類的試題，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)椴坏仁胶愠闪?wèn)題，讓他們精準(zhǔn)找到解題的切入點(diǎn) [4] .

例4 ???已知存在一個(gè)實(shí)數(shù)a，函數(shù)f（x）=（x 2－4）·（x－a）在區(qū)間 －∞，－2 與區(qū)間 2，+∞ 上均單調(diào)遞增，那么參數(shù)a的取值范圍是什么？

解析 ??審題后可以發(fā)現(xiàn)，這是一道典型的求參數(shù)取值范圍類的題目，處理這類試題的關(guān)鍵之處在于運(yùn)用題干中提供的已知信息與條件尋找切入點(diǎn)，由于題目中明確指出該函數(shù)在以上兩個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增的，所以教師可以提示他們借助函數(shù)單調(diào)性來(lái)求參數(shù)a的取值范圍.

解 ???由于f′（x）=3x 2－ax－4，且函數(shù)f（x）在區(qū)間 －∞，－2 與區(qū)間 2，+∞ 上均單調(diào)遞增，

則函數(shù)f′（x）=3x 2－ax－4在區(qū)間 －∞，－2 與區(qū)間 2，+∞ 上的值是大于等于0的，

而且函數(shù)f′（x）=3x 2－ax－4的圖象開(kāi)口向上，還經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，4），

再結(jié)合題目中給出的已知條件能夠得到f′（－2）≥0，f′（2）≥0，解得-2≤a＜2，

綜上可得在函數(shù)f（x）中參數(shù)a的取值范圍是 －2，2 .

5 利用函數(shù)單調(diào)性解復(fù)合函數(shù)題目

通俗來(lái)講，復(fù)合函數(shù)就是函數(shù)套函數(shù)，將幾個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)復(fù)合成一個(gè)相對(duì)復(fù)雜的函數(shù)，而且不一定只含有兩個(gè)函數(shù)，有時(shí)甚至?xí)袃蓚€(gè)以上的函數(shù)，雖然從題目本身來(lái)看顯得較為復(fù)雜，但是只要掌握一定的竅門(mén)，難題也就很快地迎刃而解.對(duì)于高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練而言，當(dāng)遇到一些復(fù)合函數(shù)類的題目時(shí)，除使用一些常規(guī)方法外，教師可引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)單調(diào)性找到簡(jiǎn)便的解題方法，使其把復(fù)合函數(shù)進(jìn)行合理的拆分，然后逐個(gè)分析它們的單調(diào)性，匯總后求解 [5] .

例5 ???請(qǐng)判斷出復(fù)合函數(shù)f（x）=3 x 2+1 的單調(diào)性.

解析 ??這是一道明顯的函數(shù)套函數(shù)類試題，雖然函數(shù)的解析式不長(zhǎng)，但是里面涉及兩個(gè)函數(shù)，學(xué)生看到這類題目時(shí)，往往一時(shí)之間會(huì)不知所措，不知道從何處著手，極易陷入困境之中，此時(shí)教師可引領(lǐng)他們利用函數(shù)單調(diào)性來(lái)解答這一復(fù)合函數(shù)題目，先把原函數(shù)拆分成兩個(gè)單獨(dú)函數(shù)，再逐個(gè)判斷這兩個(gè)單獨(dú)函數(shù)的單調(diào)性，然后綜合起來(lái)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的特征展開(kāi)判斷.

解 ??首先根據(jù)題意可知該函數(shù)的外層函數(shù)f（t）=3 t，內(nèi)層函數(shù)是t=x 2+1，其中外層函數(shù)f（t）=3 t是一個(gè)底數(shù)比1大的指數(shù)函數(shù)，在 R 上單調(diào)遞增，而內(nèi)層函數(shù)t=x 2+1，是關(guān)于y軸對(duì)稱的偶函數(shù)，在區(qū)間 －∞，0 上單調(diào)遞減，在區(qū)間 0，+∞ 上單調(diào)遞增，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原則判斷出該復(fù)合函數(shù)在區(qū)間 －∞，0 上單調(diào)遞減，在區(qū)間 0，+∞ 上呈單調(diào)遞增，由此順利求得準(zhǔn)確結(jié)果.

6 應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性搭配求導(dǎo)來(lái)解題

在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，可用的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)有很多，除函數(shù)的單調(diào)性知識(shí)以外，還有集合、不等式、三角公式、數(shù)列、方程和求導(dǎo)等，其中求導(dǎo)屬于數(shù)學(xué)計(jì)算中的一個(gè)常用計(jì)算方法，含義是當(dāng)自變量的增量趨向于0時(shí)，因變量和自變量的增量之商的極限，不少函數(shù)都存在導(dǎo)數(shù).高中數(shù)學(xué)教師在解題中，可指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性搭配求導(dǎo)進(jìn)行解題，其中求導(dǎo)是分析函數(shù)單調(diào)性的前提，這是一種比較簡(jiǎn)單的解題方法，能有效提高他們的解題效率 [6] .

例6 ??已知函數(shù)f（x）= ln x－ax，g（x）= e ?x－ax，其中a是一個(gè)實(shí)數(shù)，假如函數(shù)f（x）在區(qū)間 1，+∞ 單調(diào)遞減，而且函數(shù)g（x）在區(qū)間 1，+∞ 上存在最小值，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是什么？

解析 ??這是一道可導(dǎo)函數(shù)類的題目，處理這類試題的解題方程是以求導(dǎo)為基礎(chǔ)的，不過(guò)教師可指引他們借助函數(shù)單調(diào)性搭配求導(dǎo)進(jìn)行解題，幫助他們簡(jiǎn)化解題思路，使其順利解答這一試題.

解 ??由于f′（x）= 1 x -a= 1－ax x ，考慮到函數(shù)f（x）的定義域是（0，＋∞），而且函數(shù)f（x）在區(qū)間 0，+∞ 上呈單調(diào)遞減，

則a>0，f′（x）<0，得到x> 1 a ，

所以函數(shù)f（x）在區(qū)間 ?1 a ，+∞ 上單調(diào)遞減，

由于函數(shù)f（x）在區(qū)間 1，+∞ 上單調(diào)遞減，

所以 1，+∞?1 a ，+∞ ，

由此得到 1 a ≤1，a≥1.

令g′（x）= e ?x－a=0，則x= ln a，

當(dāng)x< ln a時(shí)，g′（x）>0，g（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x> ln a時(shí)，g′（x）<0，g（x）單調(diào)遞增；

因?yàn)間（x）在區(qū)間 1，+∞ 上存在最小值，所以當(dāng) ln a>1時(shí)，a> e ，

綜上，a的取值范圍是 ?e ，+∞ .

6 結(jié)語(yǔ)

總而言之，在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，函數(shù)單調(diào)性有著廣泛的運(yùn)用范圍，適用于多類數(shù)學(xué)題目，教師應(yīng)深刻意識(shí)到函數(shù)單調(diào)性在數(shù)學(xué)解題中的功能和作用，引領(lǐng)學(xué)生結(jié)合實(shí)際解題需求靈活自如、巧妙恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用函數(shù)單調(diào)性，使其把抽象化、復(fù)雜化的數(shù)學(xué)題目變得具體化、簡(jiǎn)單化，降低解題難度，更好地進(jìn)行自主求解，同時(shí)不斷培養(yǎng)與提升他們的數(shù)學(xué)解題能力.

參考文獻(xiàn)：

[1] 郝玉奎.函數(shù)單調(diào)性在高中數(shù)學(xué)解題中的有效應(yīng)用[J].高中數(shù)理化，2021（22）：17-18.

[2]聞琳.高中數(shù)學(xué)函數(shù)單調(diào)性解題技巧——以蘇教版高中數(shù)學(xué)為例[J].理科愛(ài)好者（教育教學(xué)），2020（04）：68-69.

[3]王世龍.試論函數(shù)單調(diào)性在高中數(shù)學(xué)中的學(xué)習(xí)及應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究，2020（09）：8-9.

[4]路梅芳.函數(shù)單調(diào)性在高中數(shù)學(xué)中的學(xué)習(xí)與運(yùn)用[J].課程教育研究，2019（44）：164.

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