構造函數法在高中數學解題中的應用策略

朱琳

【摘 要】 ?構造函數法在高中數學解題中有著重要的應用價值，它改變了正向解題思維方式，避開原題目設計的障礙，通過構造一個新的輔助函數，來創新數學解題思路與方法，從而有效提高解題效率.在構造輔助函數時，通過對條件與結論的深入分析和充分利用其關系與特點，并堅持相似性、直觀性、等價性的原則構造熟悉的函數實現簡捷快速有效解決問題.

【關鍵詞】 ?高中數學；構造函數法；解題應用

構造法是根據題目條件與結論的關系和特點，構建一個新對象來輔助解題，從而繞開題目所設障礙簡捷高效創造性地解題.構造對象可以是函數、數列、不等式等眾多類型，本文僅對構造函數法解題進行探討.

1 構造一次函數輔助解題

例1 ??已知a，b，c∈ R ，并且三者的絕對值都不大于1，證明：ab+bc+ca+1≥0.

解析 ??對于該不等式如果直接證明有較大難度，根據該不等式的特點，如果能構造一個相似的一次函數f a = b+c a+bc+1，就將問題轉化為證明當|a|≤1時，f a ≥0成立即可.根據已知條件可知-1≤a≤1，-1≤b≤1，-1≤c≤1，分情況進行討論：

（1）當 b+c ≠0時，f a 就是a的一次函數，f -1 =- b+c +bc+1=（1-b）（1-c）≥0， f 1 = b+c +bc+1=（1+b）（1+c）≥0， 因為一次函數具有單調性，所以當-1≤a≤1時f a ≥0成立，所以原不等式成立.

（2）當 b+c =0時，f a =-b ?2 +1≥0，所以原不等式成立.

綜合兩種情況，可證ab+bc+ca+1≥0成立.

2 構造二次函數輔助解題

例2 ??假設0

解析 ??觀察已知條件，因為m ?2

因為構造函數f m =m-m ?2

=- m- 1 2 ???2 + 1 4 ，

所以f m 在 0， 1 2 ?區間內是增函數，

因為0

所以f m

所以n< 1 p+1 成立.

通過構造二次函數使不等式得證.

3 構造高次函數輔助解題

例3 ??已知m，n是兩個不相等的實數，并且m，n是高次方程x 4-4x ?3 +7x ?2 -6x-2000=0的解，求m+n的值.

解析 ??直接解高次方程比較困難，如果構造一個高次函數可使該問題變得容易解決.

因為x ?4 -4x ?3 +7x ?2 -6x-2000=0，

所以 x-1 ??4 + x-1 ??2 -2002=0，

因為m，n是該方程的解，

所以 ??m-1 ??4 + m-1 ??2 -2002=0， n-1 ??4 + n-1 ??2 -2002=0，

構造四次函數f x =x 4 +x ?2 -2002，容易判斷該函數在 0，+∞ 上是單調遞增的偶函數，

所以f x =f -x ，

所以f m-1 =f n-1 =f 1-n ，

因為m≠n， 所以m-1=-（n-1），

所以m+n=2.

可見利用構造函數可以使本題更加簡潔、高效地得到解決.

4 構造指數函數輔助解題

例4 ??已知a，b，c是三角形的三條邊，并且滿足a ?2 +b ?2 =c 2 ，m是大于2的正整數，證明：c ?m >a ?m +b ?m .

解析 ??該不等式不易直接證明，分析該不等式的特點并對其進行變形 ?a c ???m + ?b c ???m <1，可考慮構造指數函數f x = ?a c ???x + ?b c ???x ，然后利用指數函數的單調性即可容易證明此題.

因為a ?2 +b ?2 =c 2 ，

所以三角形為直角三角形，且0

所以0< a c <1，0< b c <1，

構造指數函數f x = ?a c ???x + ?b c ???x ，

容易判斷f x 在 2，+∞ 上是減函數，

所以當m>2時，f m

所以 ?a c ???m + ?b c ???m < ?a c ???2 + ?b c ???2 =1，

即c ?m >a ?m +b ?m .

5 構造三角函數輔助解題

例5 ??已知0

sin ?A+B+C 3 ≥ ?sin A+ sin B+ sin C 3 .

解析 ??仔細分析該不等式可看出，該不等式有三角形重心坐標公式的特點，因此可通過構造三角函數并從三角形重心的方向來解題.

構造正弦函數f x = sin x，

則M A， sin A ，N B， sin B ，P C， sin C 三點是正弦函數上的點，它們構成的三角形MNP的重心坐標是G ?A+B+C 3 ， ?sin A+ sin B+ sin C 3 ?，

在（0， π ）范圍內正弦函數圖象如圖1 所示，△MNP 的重心坐標滿足如下條件：

sin A+ sin B+ sin C 3 ≤f ?A+B+C 3 ?，

所以可證明

sin ?A+B+C 3 ≥ ?sin A+ sin B+ sin C 3 .

6 結語

總之，構造法在數學解題中有著廣泛的應用，利用構造函數法能夠創新高中數學解題思路方法，對于解決一些難以形成簡單快捷高效解題思路的復雜問題有著明顯優勢，也是培養學生數學創新思維的重要途徑，因此，教師要注重引導學生巧用構造法實現簡捷高效解題.

參考文獻：

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[3]林春花.探討高中數學圓錐曲線解題中構造法的應用[J].黑河教育，2020（4）：24-26.