妙用向量思維，巧解三角形

張東起

【摘 要】 ?解三角形中的頂點(diǎn)與對(duì)邊連線的問題是一類比較常見的創(chuàng)新題型，其有效地融合三角函數(shù)、解三角形、平面向量以及不等式等眾多的相關(guān)知識(shí).本文結(jié)合一道解三角形的模擬考題，利用平面向量的知識(shí)進(jìn)行探究拓展，以期指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及優(yōu)化思維品質(zhì).

【關(guān)鍵詞】 ?高中數(shù)學(xué)；余弦定理；平面向量

1 背景

解三角形問題通常會(huì)以三角形中的頂點(diǎn)與對(duì)邊連線巧妙設(shè)置條件，有效串聯(lián)起三角函數(shù)、解三角形、平面向量以及不等式等眾多的相關(guān)知識(shí).求解此類問題時(shí)，可以從三角函數(shù)、解三角形、平面向量等多種思維角度切入，利用三角恒等變換、正（余）弦定理、平面向量數(shù)量積或基本不等式等數(shù)學(xué)工具做進(jìn)一步轉(zhuǎn)化，從而方便求解.

2 問題呈現(xiàn)

已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，∠BAC= ?π ?3 ，D為BC上一點(diǎn)，且AD=1，若BD∶DC=2c∶b，則2b+c的最小值為 .

分析 ??本題以三角形的內(nèi)角大小、線段長度及線段比例為問題背景，題目簡單明了，考查三角形的面積公式、誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)恒等變換，可以從解三角形及平面向量等角度切入求解.

3 解法探究

3.1 解三角函數(shù)思維

解法1 等面積法

設(shè)∠BAD=θ 0<θ< ?π ?3 ?，則∠CAD= ?π ?3 -θ.

因?yàn)锳D=1，BD∶DC=2c∶b，

所以 S △ABD ?S △ACD ?= BD CD = 2c b .

化簡得2 sin θ= ??3 ?cos θ，

即 tan θ= ???3 ?2 ，

故 sin θ= ???21 ?7 ， sin ???π ?3 -θ = ???21 ?14 .

又S △ABC =S△ABD +S △ACD ，

所以 1 2 bc sin ??π ?3 = 1 2 c sin θ+ 1 2 b sin ???π ?3 -θ ，

即 2 b + 1 c = ??7 ，

所以2b+c= 2b+c ??2 b + 1 c ??1 ???7

= 1 ???7 ??5+ 2b c + 2c b ?≥ 1 ?7 ??5+4 = 9 ??7 ?7 .

當(dāng)且僅當(dāng)b=c= 3 ??7 ?7 時(shí)取等號(hào)，即2b+c的最小值為 9 ??7 ?7 .

3.2 解三角形思維

解法2 余弦定理法

BD= 2ac 2c+b ，CD= ab 2c+b ，

在△ABC中，a ?2 =b 2 +c ?2 -2bc cos A，則a ?2 =b 2 +c ?2 -bc.①

又在△ABD和△ACD中，

c ?2 =1+ 4a ?2 c ?2 ?（2c+b） ?2 ?-2 2ac 2c+b ?cos ∠ADB，b ?2 =1+ a ?2 b ?2 ?（2c+b） ?2 ?-2 ab 2c+b ?cos ∠ADC，

化簡得（2c+b） ?2 -2bc ?3 -5b ?2 c ?2 -2b ?3 c+2a ?2 bc=0，②

把①代入②得7b ?2 c ?2 =（b+2c） ?2 ，

即 ??7 bc=b+2c， ?2 b + 1 c = ??7 ，后面證法同上.

3.3 平面向量思維

解法3 平面向量法

如圖1所示，以AB，AC為鄰邊構(gòu)造平行四邊形AEDF，

因?yàn)?BE EA = BD DC = 2c b ，

所以AE= b b+2c AB，

同理，AF= 2c b+2c AC.

又 AD ?=AE ?+AF ?，等號(hào)兩邊同時(shí)平方得

AD ???2 =AE ???2 +AF ???2 +2AE ?·AF ?，

b ?2 ?（b+2c） ?2 ?AB ???2 + 4c ?2 ?（b+2c） ?2 ?AC ???2 +

4bc （b+2c） ?2 ?AB ?·AC ?=1，

b ?2 c ?2 ?（b+2c） ?2 ?+ 4b ?2 c ?2 ?（b+2c） ?2 ?+ 2b ?2 c ?2 ?（b+2c） ?2 ?=1，

7b ?2 c ?2 =（b+2c） ?2 ，

7 bc=b+2c，

2 b + 1 c = ??7 .

后面證法同上.

4 變式拓展

拓展1 ??根據(jù)原題的解答過程，以三角形面積的范圍來設(shè)置問題，難度與原題相當(dāng).

變式1 ??已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，∠BAC= ?π ?3 ，D為BC上一點(diǎn)，且AD=1，若BD∶DC=2c∶b，則△ABC面積的最小值為 .

解 ??由原題的解答過程可得 ??7 bc=b+2c，

于是有bc≥ 8 7 ，

當(dāng)且僅當(dāng)b= 4 ???7 ?，c= 2 ???7 ?時(shí)取 ???等號(hào).

又因?yàn)镾 △ABC = 1 2 bc sin A≥ 2 ??3 ?7 ，

故△ABC面積的最小值為 2 ??3 ?7 .

拓展2 ??改變角A的大小，問題仍為求三角形邊長之和.此題以求邊長的線性組合來設(shè)置問題，難度與原題相當(dāng).

變式2 ??已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，∠BAC= 2 π ?3 ，D為BC上一點(diǎn)，且AD=1，若BD∶DC=c∶b， 則2b+c的最小值為 .

解 ??由AD ?= b b+c AB ?+ c b+c AC ?，

則有 b ?2 ?（b+c） ?2 ?AB ???2 + c ?2 ?（b+c） ?2 ?AC ???2 + 2bc （b+2） ?2 ?AB ?·AC ?=1，

整理得b ?2 c ?2 =（b+c） ?2 ，

即bc=b+c， 1 b + 1 c =1，

所以2b+c= 2b+c ??1 b + 1 c

=3+ 2b c + c b ≥3+2 ??2 .

當(dāng)且僅當(dāng)c= ??2 ，b= ??2 +1時(shí)取等號(hào).

故2b+c的最小值為3+2 ??2 .

拓展3 ??改變線段BD與線段CD的比例關(guān)系，問題改為求邊長a的最小值.此題的求解用到基本不等式知識(shí)，難度有所增加.

變式3 ??已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，∠BAC= ?π ?3 ，D為BC上一點(diǎn)，且AD=1，若BD∶DC=c∶b，則邊長a的最小值為 .

解 ??由AD ?= b b+c AB ?+ c b+c AC ?，

則有 b ?2 ?（b+c） ?2 ?AB ???2 + c ?2 ?（b+c） ?2 ?AC ???2 + 2bc （b+c） ?2 ?AB ?·AC ?=1，

b ?2 c ?2 ?（b+c） ?2 ?+ b ?2 c ?2 ?（b+c） ?2 ?+ b ?2 c ?2 ?（b+c） ?2 ?=1，

整理得3b ?2 c ?2 =（b+c） ?2 ，即 ??3 bc=b+c.

因?yàn)閎+c≥2 ??bc ，所以b+c≥ 4 ??3 ?3 ，

當(dāng)且僅當(dāng)b=c= 2 ??3 ?3 時(shí)取等號(hào).

在△ABC中a ?2 =b ?2 +c ?2 -2bc cos A，則a ?2 =（b+c） ?2 -3bc，

a ?2 =（b+c） ?2 - ??3 （b+c）≥ 4 3 .

解得a≥ 2 3 ?3 或a≤ -2 3 ?3 （不合題意，舍去），

故a的最小值為 2 ??3 ?3 .

拓展4 ??改變線段BD與線段CD的比例關(guān)系及AD的長度.問題改為求 cos A的最小值.此題的求解用到基本不等式知識(shí)，難度有所增加.

變式4 ??已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，D為BC上一點(diǎn)，且AD=a，若BD∶DC=2∶1，則 cos A的最小值為 .

解 ??由AD ?= 1 3 AB ?+ 2 3 AC ?，

則有 1 9 AB ???2 + 4 9 AC ???2 + 4 9 AB ?·AC ?=a 2 ，

c ?2 ?9 + 4b ?2 ?9 + 4bc 9 ?cos A=a 2 ，

又a ?2 =b 2 +c ?2 -2bc cos A，

整理得3c ?2 +6b ?2 =11a ?2 .

因?yàn)?cos A= b ?2 +c ?2 -a ?2 ?2bc = 5b ?2 +8c ?2 ?22bc

= 1 22 ??5b c + 8c b ?≥ 2 ??10 ?11 ，

當(dāng)且僅當(dāng)b= 2 ??10 ?5 c時(shí)取等號(hào).

故答案為 2 ??10 ?11 .

5 結(jié)語

解三角形問題涉及三角形的頂點(diǎn)與對(duì)邊連線，求解的常見方法有： 利用平面向量加法的平行四邊形法則表示向量，然后通過向量的平方轉(zhuǎn)化為向量模長，再結(jié)合基本不等式求解.在求解三角形問題時(shí)應(yīng)在熟練掌握正（余）弦定理、三角恒等變換公式等前提下，可以利用平面向量及基本不等式選擇合適的求解方法和解題技巧.

參考文獻(xiàn)：

[1] 梁治明.巧思維切入 妙角度拓展——一道解三角形題的探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（下旬），2021（36）：35-36.

[2]王宏兵.常見思維切入，技巧方法歸納——一道解三角形的突破[J].數(shù)學(xué)之友，2021（06）：70-71+74.