淺敘高中數學選修課“微積分學”的基本定理

姚少魁 熊家永

【摘 要】 ?微積分基本定理就是牛頓萊布尼茨公式嗎？該定理的基本性何在？微積分基本定理的正式名稱是積分學基本定理嗎？本文通過梳理國內高中教科書、大學教科書和國外高校教材中的相應內容并結合學習體會，嘗試回答對微積分學中這個最重要的定理的這些疑問.

【關鍵詞】 ?牛頓萊布尼茨公式；微積分基本定理；高中數學

1 微積分基本定理與牛頓萊布尼茨公式

今天微積分的學習已“飛入尋常百姓家”，大多數中學生也開始學習微分部分的內容.數學課程標準（2017年版）在選修課程中的 A 類課程為有志于學習數理類專業設置的課程，其中微積分部分闡述微分和積分的關系（微積分基本定理， The Fundamental Theorem of Calculus，FTC） 及其應用，并在定積分的部分指出通過微分感悟積分與導數的關系，理解并掌握牛頓萊布尼茨公式：f b -f a =∫ baf′ t ?d t [1] .

在人民教育出版社2021年版數學 A 類《微積分》介紹了如下定理 [2] ：

定理1 牛頓萊布尼茨公式 ??設函數f（x）在區間[a，b]上連續，并且F ′（x）=f（x），則∫ baf x ?d x=F b -F（a），稱F（x） 是f（x）的一個原函數.

問題1 ??微積分基本定理是不是就是牛頓萊布尼茨公式呢？

讓我們看一看舊版高中教材的論述，如2005年審定通過的人民教育出版社 A 版高中數學選修2-2（舊教材）第53頁：

一般地，如果f（x）是[a，b]上的連續函數，并且F ′（x）=f（x），那么∫ baf x ?d x=F b -F（a）.

這個結論叫作微積分基本定理，又叫作牛頓萊布尼茨公式 （NewtonLeibniz formula）.

北京師范大學出版社高中數學選修2-2第83頁和江蘇鳳凰教育出版社數學選修2-2第49頁關于微積分基本定理與人教版相同.蘇教版教材在鏈接模塊關于微分和積分的關系中解釋道，微積分基本定理給出了微分與積分這兩個關鍵詞之間的關系.因為是由牛頓、萊布尼茨共同發現的，所以稱之為牛頓萊布尼茨公式.

由張景中院士主編的湖南教育出版社數學選修2-2（理科）（2019年7月第2版）第四章第69頁微積分基本定理部分注釋到“牛頓和萊布尼茨發現了并且明確表述了微積分基本定理，標志著微積分學的誕生”，并給出了微積分基本定理的圖形直觀.

關于微積分中的原函數，李尚志教授詩云：“量天何必苦登高，借問銀河落九霄.直下凡塵幾萬里，幾公里處宴蟠桃.”從古典的詩歌意境闡述數學思想的美妙.并指出通過原函數求定積分的方法就是微積分基本定理，也就是牛頓萊布尼茨公式 [3] .

問題2 ??是不是限于中學生的理解能力和知識基礎，高中數學教材中的微積分基本定理就是專指牛頓萊布尼茨公式呢？

為了求證此事，讓我們看一看國內高校教材中的敘述.

2021年同濟大學編寫的《高等數學》第七版（上、下冊）獲得首屆“全國優秀教材特等獎”，在上冊第240頁：

定理2 ??如果函數f（x）在區間[a，b]上連續，那么函數Φ x =∫ xaf t ?d t就是f（x）在[a，b]上的一個原函數.

定理3（微積分基本定理） ??如果函數F（x）是連續函數f（x）在區間[a，b]上的一個原函數，那么∫ baf x ?d x=F b -F（a）.

該公式叫作牛頓萊布尼茨公式，也叫作微積分基本公式.該公式表明一個連續函數在區間[a，b]上的定積分等于一個原函數在區間[a，b]上的增量.因而解釋了定積分與被積函數的原函數或不定積分之間的聯系.并注釋到微積分基本定理的陳述最早出現在萊布尼茨1677年的一篇手稿中.

而由華東師范大學數學系編寫的《數學分析》第四版上冊第224頁：

定理4（原函數存在定理） ??若f 在[a，b]上連續，則Φ x =∫ xaf t ?d t 在[a，b]上處處可導，且Φ ′ x = ?d ??d x ∫ xaf t ?d t=f x ，x∈［a，b］.

本定理溝通了導數和定積分這兩個從表面看去似不相干的概念之間的內在聯系，同時也證明了“連續函數必有原函數”這一基本結論，并以變上限的積分形式給出了f的一個原函數.正因為該定理的重要作用而被譽為微積分基本定理.

由于f的任意兩個原函數只能相差一個常數，所以當f為連續函數時，它的任一原函數F x =∫ xaf t ?d t+C， 令x=a，可得C=F（a），從而∫ xaf t ?d t=F x -F（a）.再令x=b，即得牛頓萊布尼茨公式 ∫ baf t ?d t=F b -F（a）.

在項武義老師的系列著作基礎數學講義之四《基礎分析學之一》單元微積分學部分中有以下定理.

定理5（微積分基本定理） [4]

設f（x） 為[a，b] 上的連續函數.令F x =∫ xaf t ?d t，則 F ′（x）=f（x）.

推論 ??設f（x） 為[a，b] 上的連續函數而G ′ x =f（x）， 則∫ baf t ?d t=G b -G a .

微積分基礎理論是整個分析學的基礎和精要之所在，它廣泛的應用和深厚的發展可以說是無限的.

問題3 ??至此，我們看到高中數學教材和同濟第七版高數教材中所給出的公式就是牛頓萊布尼茨公式，而兩本國內數學專業教材給出的基本定理內容是變上限函數求導的公式，那么原函數存在定理是微積分基本定理的一個組成部分嗎？

在《古今數學思想》（第四冊）第15頁柯西定義F x =∫ xx0 ?x ?d x， 且證明F x 在 x ?0 ，x］上連續. F x+h -F（x） h = 1 h ∫ x+h xf x ?d x， 并利用積分中值定理，柯西證明了F ′（x）=f（x）.

這就是微積分基本定理. 柯西的表示方法就是微積分基本定理的第一個證明 [5] .

在證明了給定函數f（x）的全體原函數彼此只差一個常數之后，他把不定積分定義為

∫f x ?d x=∫ xaf x ?d x+C.

若假定f′（x）連續，

則∫ baf x ?d x=f b -f a .

通過對比和分析，我們明確了變上限函數求導（原函數存在定理）是微積分基本定理（一部分），牛頓萊布尼茨公式可由微積分基本定理（原函數存在定理）推出.

問題4 ??帶著“牛頓—萊布尼茲公式是否也應是微積分基本定理的一部分”的疑問，讓我們一起看看國外三本經典教材中的相關闡述.

由 George Thomas 教授編寫的占據美國微積分教科書市場主導地位的Thomas Calculus第十四版將微積分基本定理稱為積分學的中心定理 （central theorem of integral calculus）， 牛頓—萊布尼茨這一數學發明推動了接下來200年的科學革命 [6] .

定理6 ??微積分基本定理， 第1部分如果f在 [a，b]上連續， 那么 F x =∫ xaf t ?d t 在 [a，b]上連續，在 a ，b）上可導且其導數是 f x ：F′ x = ?d ??d x ∫ xaf t ?d t=f（x）.

定理7 ??微積分基本定理， ?第2部分，求值定理（The Evaluation Theorem） ：如果 f x 在 [a，b]上連續， F x ?是 f x ?在 [a，b] 上的反導數（ antiderivative ）， 那么∫ baf x ?d x=F b -F a .

由第1部分可知 f的原函數存在. 定理7求值部分比用黎曼和計算定積分簡便很多. 如果F x 是f的任意一個原函數，則可以寫成F b -F a =∫ baF′ x ?d x. 函數F（x）關于x的變化率的積分等于F（x）當x從a到b的凈變化量（ net change ）. 該式也可改寫為F b =F a +∫ baF′ x ?d x.

從1980年開始，經過在麥克馬斯特大學6年的試用， James Stewart 的Calculus第一版于1987年問世，目前已經進行了8次修訂，第八版第326頁微分和積分是互逆的過程（ Differentiation and integration as Inverse Processes ）.

微積分基本定理 ??假設 f x ?在 [a，b] 上連續.

（1）若 g x =∫ xaf t ?d t， 則 g ′（x）=f（x）.

（2）∫ baf x ?d x=F b -F（a），其中 F x 是 f x 的一個反導數， 即F x ?′=f x .

第1部分用萊布尼茨的記號可以寫成 ?d ??d x ∫ xaf t ?d t=f（x）.

第2部分可以改寫為∫ baF′ x ?d x=F b -F（a）.

綜合考慮微積分基本定理的這兩個部分，表明微分和積分是互逆的過程，每一個都將對方的操作還原 [7] .

在普林斯頓微積分讀本中， 第1部分和第2部分分別叫作微積分第一基本定理（The First Fundamental Theorem of Calculus）和第二基本定理（The Second Fundamental Theorem of Calculus）.一般地，在美國非數學專業微積分教科書中，微積分基本定理通常包括兩個部分：反導數（antiderivative part）部分和求值部分（evaluation part），牛頓萊布尼茨公式是微積分基本定理的求值部分 [8] .在R．Courant和F. John所著的數學專業教材 Introduction to calculus and analysis （Volume 1）中微積分基本定理的第1部分，也是反導數部分. 盡管牛頓萊布尼茨公式可以由變上限函數求導推出，但目前國際上流行的教科書仍是將牛頓萊布尼茨公式和變上限函數求導作為微積分基本定理的組成部分.

2 微積分基本定理的作用及“基本”性

微積分基本定理說明：連續函數積分的計算，只要尋求它的原函數在兩端點函數值之差即可，可以不用“分隔、作和、求和與取極限”這種大動干戈的方式進行. 從歐多克索斯和阿基米德到伽利略和費馬的時代，求曲線的面積、幾何體的體積以及曲線長度這些生活中的問題，只有當時的一些天才才能迎接這些挑戰，但是現在有了微積分基本定理（求值部分），我們的中學生也能解決其中一些問題. 盡管牛頓、萊布尼茨都不是最早注意到這個定理的人，但他們各自證明了這個定理，并認識到它巨大的效用和重要性 [9] .

這種不斷追尋問題本質，將復雜問題變簡單的基本想法不愧為人類理性精神的偉大成就之一.但即使學過微積分的人比如筆者和一些同事，往往也會忽略定理的反導數部分. 那么定理的這兩個部分分別有哪些作用呢？

對于初學者，黎曼和是一個令人頭疼的概念，定理的第2部分讓我們不必再借助先求黎曼和再判斷其極限的方式來求定積分，而只需要估計該函數的不定積分在兩個端點函數值的差即可，因此也被稱為求值部分. 定理的反導數部分保證了導數已知的函數其原函數的存在性.

該定理表明微積分的兩大主體內容微分和積分間是互逆的運算，具體地講 [10] ：

對于連續函數f，我們先進行積分然后再微分就可以得到原函數：

f x ?積分 ??∫ xaf t ?d t 微分 ????d ??d x ∫ xaf t ?d t=f（x）.

另一方面，如果對函數進行先微分然后再積分，在差一個常數的意義下，也可以給出原函數：

f x ?微分 ??f ′ x ?積分 ??∫ xaf′ t ?d t

=f x -f a .

作為積分學的基礎，該定理建立了微分中值定理與積分中值定理的聯系：

f c = F′ c （b-a） b-a = F b -F（a） b-a

= 1 b-a ∫ baf x ?d x，a

并且微積分學中四個重要的概念，極限、導數、不定積分與定積分通過微積分基本定理建立了聯系.不僅如此，變化率的積分是凈變化量∫ baF′ x ?d x=F b -F（a），因此該定理也被稱為凈變化量定理，它可用于刻畫自然科學和社會科學領域的所有變化量問題，如一段時間內速度變化產生的位移，速率變化產生的距離，化學反應速率的變化產生的物質濃度的變化量，邊際成本變化所導致的生產單位商品成本的變化，人口變化率引起的人口數量的變化，等等.

此定理反映了一元函數微分和積分之間的基本關系，這種整體和局部之間的關系可以推廣到高維空間，多元函數微積分學中的格林公式、高斯公式和斯托克斯公式都是建立在微積分基本定理這個共同基礎之上的.

3 微積分基本定理（ FTC）原為積分學基本定理（FTIC ）

函數是微積分的基本研究對象，甚至在函數概念沒有明確之前就已經從幾何學中逐步建立 [11] ，函數概念的提出，使得微積分走上了代數化的道路，如同函數概念是一代代數學家接續發展的結果，牛頓和萊布尼茨關于微積分的工作通過歐拉、柯西、魏爾斯特拉斯一直繼續發展.盡管牛頓和萊布尼茨共同發現并證明了微積分基本定理， 但是這個定理的萌芽既不是從兩位微積分的集大成者開始，也不是發展到他們時結束.但無疑該定理是數學發展史上的一個里程碑，其建立標志著微積分的誕生 [12] .凡是要真正懂得科學的力量和全貌，都必須了解這門知識的現狀是歷史發展的結果.1820年泊松稱牛頓萊布尼茨公式為“定積分理論的基本命題”，這可能是第一次有人稱這個定理為“基本的” [13] . 通過對陳見柯老師推薦的《教授積分學基本定理歷史反思》的梳理，我們可以得到該定理名稱如圖1的發展脈絡：

無論是 Thomas的書還是D. M. Bressoud的觀點，微積分基本定理均是關于積分的等式，進一步Bressoud認為應將積分一詞還回微積分基本定理中，即為積分學基本定理The Fundamental Theorem of Integral Calculus，簡稱FTIC，這一名稱似乎源于P.B. Reymond 1876年關于傅里葉級數的論文，并將此定理描述為“積分學中最重要和有用的定理”. 20世紀50年代和60年代，這兩個名稱往往同時使用，到了20世紀70年代，大多數作者省去形容詞“積分的”（integral）進而選擇較短的名稱（FTC）， 從而加強了把該定理解釋為微分與積分互逆這種特性的傾向 [14] .

4 微積分的學習與“雙減”

作為一切高級數學的基本功，微積分和線性代數是大學生必修的公共課程，基于嚴格極限定義的微積分讓大學生初學者也摸不著頭腦. 作為微積分學創立的標志，結合幾何意義和動態直觀，國際高中的學生對閉區間上的定積分還能理解，也能利用牛頓萊布尼茨公式進行基本的運算，但面對微積分基本定理的反導數部分，即使學過的學生也可能不知所措. 學習者忽略第1部分或許與我們平時更重視練習和實際應用，時常忽略數學的理性精神，不注重從數學發展等多角度賞析有關 [15] . 定理的證明是理解其含義的一個重要途徑，遺憾的是即使美國大學選修課程的教材（正文）中一般也都跳過證明，僅敘述結論與應用. 那么微積分可以變得易于全部高中生學習嗎？

“沒有一種數學思想，以它被發現時的那個樣子發表出來. 一個問題被解決以后，相應發展成一種形式化的技巧，結果使得火熱的思考變成了冰冷的美麗.” [16] 源于1996年6月張景中先生與林群先生開會時同桌進餐，一南一北兩位數學家開始了長達20多年的數學科普創作.兩位先生就中學數學教材中有關基本定理簡化證明中的錯誤和原因進行了分析，并通過反例說明嚴格證明可以消除直觀中的錯誤，也可以讓讀者學到正確有效的思想方法 [17] .

2021年，“雙減”成為教育的重要課題和全民關注的熱點，如何減輕中學生數學學習的負擔，進而讓更多同學體驗到數學的有趣，獲得學好數學的信心是每個教育工作者關心的問題. 張景中先生認為“雙減”中有相當一部分內容是關于數學的. 對數學課來說，減輕負擔最有效、最根本的方法就是把數學本身變得更有效、更容易學. 這就必須對數學本身進行加工，最好能改造數學知識體系，研究更優的解決方法，讓“過去曾經困擾成年人的問題，在以后的年代里，連孩子們都能容易地理解”.兩位“微積分爺爺”的新作《減肥微積分》將激發更多不滿足于課內知識的青少年的科學興趣，訓練孩子們學習科學研究的方法、素養和精神 [18] . 這種不借助極限的微積分邏輯新體系已經通過了輔助工具 Coq 的形式化驗證，并在計算機上運行通過. 微積分基本定理中的求值部分已經實現了機器證明，這種利用計算機實現現代數學理論的證明模式，不僅可以節省時間，而且便于人們理解、構建現代數學理論 [19] .

2022年1月25日，張景中教授由于長期致力于科普工作所做的卓越貢獻和推動機器證明智能化技術的發展獲得2021年中國計算機協會“中國計算機協會（ CCF ）終身成就獎”. 最后讓我們祝愿兩位“80后”爺爺身體健康，繼續為祖國數學科普事業的創新與發展、為我國數學實力的增強、青少年數學學習興趣的激發與培養逐夢前行.

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020：50-53.

[2]高夯.數學A類，微積分[M]，北京：人民教育出版社，2021：82-83.

[3]李尚志.微積分詩四首[J].大學數學，2011，27（1）：1-2.

[4]項武義.單元微積分學[M].北京：人民教育出版社，2004：43-48.

[5]莫里斯·克萊因.古今數學思想（第四冊）[M].上海：上海科學技術出版社，2002：14-15.

[6] ThomasGB，HassJ，et al（revised）.Thomas′s Calculus[M].（Fourteenth Edition.），Pearson Education，Inc，New Jersey ，2018：279-282.

[7]StewartJ. Calculus [M].（Eighth Edition），Cengage learning，Boston， 2015：326.

[8]童增祥.牛頓—萊布尼茲公式再議[J].高等數學研究，2014，17（6）：1-3.

[9]史蒂夫·斯托加茨.微積分的力量[M].北京：中信出版社，2021：201-255.

[10] Rogawski J.，Adams C. CALCULUS （Third Edition）[M]. 2015，New York：W.H.Freeman and Company，2015： 261.

[11]姚少魁，張浩.萊布尼茨還是歐拉？談函數概念的歷史發展[J].數學教學，2021，3：10-17.

[12]劉炳麟.深入剖析“微積分基本定理”的內涵[J].數學通報，1993，2：27-29.

[13]David M. Bressoud， Historical Reflections on Teaching the Fundamental Theorem of Integral Calculus [J].The American Mathematical Monthly，118.（2）：99-115. 陸柱家（翻譯）.教授積分學基本定理的歷史反思[J].數學譯林，2011，3（3）：260-272.

[14] David M.Bressoud.Calculus Recorded： A History of Big Ideas.New Jersey：Princeton University Press.2019.（中譯本林開亮、陳見柯、葉盧慶預計2022年出版）

[15]張奠宙，丁傳松，柴俊等.情真意切話數學[M]，北京：科學出版社，2011：56-150.

[16]張奠宙.微積分教學：從冰冷的美麗到火熱地思考[J].高等數學研究，2006，9（2）：2-4.

[17]林群，張景中.微積分教材也會錯嗎？[J].數學通報，2019，58（10）：1-3.

[18]林群，張景中.減肥微積分[M]，長沙：湖南教育出版社，2022.

[19]郭禮權，付堯順，郁文生.基于Coq的第三代微積分機器證明系統[J].中國科學：數學，2021，51（1）：115-136.