立體幾何中常見動(dòng)態(tài)問題及解題策略

陳騰

【摘 要】 ?高中時(shí)期，在對于學(xué)生綜合素養(yǎng)的培養(yǎng)要求中，空間思維是其中重要的一項(xiàng)，而立體幾何作為幾何知識(shí)體系的重要組成部分，是考查學(xué)生計(jì)算能力及空間思維的重要途徑，因此，在考試中，關(guān)于空間幾何的問題占有較高的比例.在試卷中，經(jīng)常出現(xiàn)立體幾何與點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、面動(dòng)等動(dòng)態(tài)知識(shí)綜合考查的問題，對于學(xué)生有著較高的要求，本文結(jié)合實(shí)例，對相關(guān)題型進(jìn)行總結(jié)分析，供師生參考.

【關(guān)鍵詞】 ?高中數(shù)學(xué)；立體幾何；解題策略

立體幾何作為數(shù)學(xué)問題中的重難點(diǎn)，需要學(xué)生具有較強(qiáng)的計(jì)算及想象能力，在考試中，往往不對其進(jìn)行單獨(dú)的考查，會(huì)將其與點(diǎn)動(dòng)問題進(jìn)行結(jié)合考查，而這也在很大程度上增加了學(xué)生解答問題的難度，影響學(xué)生最終成績.因此，本文將較系統(tǒng)地總結(jié)立體幾何問題中常見的動(dòng)態(tài)問題，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

1 點(diǎn)動(dòng)問題

點(diǎn)動(dòng)問題主要是研究點(diǎn)在平面或是空間內(nèi)因運(yùn)動(dòng)而引起的各種問題，在實(shí)際考查中，通常會(huì)讓學(xué)生計(jì)算因點(diǎn)動(dòng)而引起的幾何線段、周長等最值問題，此時(shí)，解題時(shí)需要首先將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將其轉(zhuǎn)到一個(gè)平面內(nèi)，而后進(jìn)行解答.在這個(gè)過程中，一般要運(yùn)用翻轉(zhuǎn)、點(diǎn)共線、點(diǎn)到直線的距離等方法，最終目標(biāo)都是將立體幾何問題平面化、折線問題直線化.

例1 ??如圖1所示，正三棱錐V－ABC中，側(cè)棱長為 3 ，∠AVB=∠BVC=∠CVA=40 ° ，過點(diǎn)A作截面△AEF，則△AEF的周長最小值為（ ?）

（A） ?3 . ??（B） 2 3 . ??（C） 3. ??（D） 2.

解析 ??如圖2所示，沿側(cè)棱VA將正三棱錐V－ABC展開，通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，此時(shí)AA′的長即為△AEF周長的最小值，同時(shí)，△VAA′中，∠AVA′=3×40 ° =120 ° .

則有

AA′= VA 2+VA′ 2－2VA·VA′· cos ∠AVA′ ?=3.

故正確答案為 （C） .

例2 ??如圖3所示，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB= 2 ，BC=AA1=1，M為AB1的中點(diǎn)，P為對角線AC1上的動(dòng)點(diǎn)，Q為底面ABCD上的動(dòng)點(diǎn)，則MP+PQ的最小值為 .

解析 ??將平面AB1C1沿AC1向上翻折，此時(shí)將折線轉(zhuǎn)化為直線段，從而便可以求出MP+PQ的最小值.

如圖4所示，當(dāng)Q是P在底面ABCD的射影時(shí)，PQ最小，

將面AB1C1沿AC1翻折，使其與平面ACC1共面，

此時(shí)有∠CAC1=30 ° ，AM= ?3 ?2 ，

當(dāng)M，P，Q三點(diǎn)共線時(shí)，MP+PQ取最小值，

此時(shí)，MP min ?=AM sin ∠CAB1= ?3 ?2 ?sin 60 ° = 3 4 .

2 線動(dòng)問題

線動(dòng)問題主要研究目標(biāo)圖象因空間中某條線段變化而發(fā)生改變時(shí)所產(chǎn)生的各種問題，如最為常見的圖象繞某一條直線進(jìn)行旋轉(zhuǎn)、折疊，在面對這類問題時(shí)，學(xué)生需要明確圖象在變化過程中的各線段的運(yùn)動(dòng)路徑、軌跡及最終落點(diǎn)，同時(shí)，將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最后借助相關(guān)幾何知識(shí)及定理進(jìn)行計(jì)算.

例3 ??在等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，BC=2，將△ABD沿直線BD翻折成△A′BD，如圖5所示，求直線BA′與CD所成角的范圍.

解析 ??等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，BC=2，

取BC的中點(diǎn)E，連接AE，四邊形AECD為平行四邊形，

所以AE=AB=CD，

所以△ABE為等邊三角形，

則∠A′BD= ?π ?6 ，CD⊥BD，CD∥AE，

翻折中，BA′繞BD旋轉(zhuǎn)，BA′可視為以B為頂點(diǎn)、BD為軸的圓錐的母線，

此時(shí)，母線與軸的夾角為 ?π ?6 ，

則母線與底面直線所成角的范圍為 ??π ?3 ， ?π ?2 ?.

故直線BA′與CD所成角的范圍為 ??π ?3 ， ?π ?2 ?.

3 結(jié)語

綜上所述，立體幾何存在多種題型，且難度相差較大，在點(diǎn)動(dòng)問題中，通常只考查點(diǎn)動(dòng)所引起線段長度、圖象周長的變化，此時(shí)學(xué)生只需要將其問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化便可以快速解答.而線動(dòng)則有更高的要求，需要學(xué)生對運(yùn)動(dòng)過程有一個(gè)明確的認(rèn)識(shí).在日常學(xué)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)當(dāng)進(jìn)行大量的練習(xí)，進(jìn)行總結(jié)歸納，達(dá)到在遇到相關(guān)問題時(shí)，可以快速找到解題思路的水平，便可在考試中取得好的成績.

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