建立學生解題的整體觀

龐海燕

一、引言

現實世界存在著大量的“周而復始”的現象，三角函數是刻畫周期現象的重要工具.以全國Ⅰ卷為例，三角內容一般設置2-3個考點，主要是“三角恒等變換”、“三角函數的圖象和性質”、“解三角形”，題型設置基本固定，分值在15-22分之間（如下表）.

具體到三角函數象及性質而言，從基礎知識的理解和應用，到運算能力，再到數形結合、轉化與化歸的思想方法都有涉及，高考試題的考查總體穩定，形式新穎，有一定難度.在教學中，如何讓學生通過教師的解題示范教學，理解和掌握數學概念、定理和方法，逐步經歷知識的激活、檢索、提取與組織，使解題與數學思維發展并行，并且能夠上升數學思想層面呢？

整體觀引領下的數學解題教學不僅有利于教師重組教學內容，促近學生聯結相對分散的事實、知識、技能或經驗，整體理解學習內容、思想方法，促進情感態度等方面發生轉變，而且使學生的學習變得更高效、更有深度和延展度，促進學科核心素養的發展.

“關鍵點法”是筆者在教學過程中摸索出的解決三角函數圖象問題的一種方法，“關鍵點”可以是具有特殊函數值的點，也可以是給定區間的端點.抓牢“關鍵點”可以根據圖象求解析式、圖象平移、求解參數范圍，從而串聯起多種題型，實現多題一法，豐富學生解題經驗，培育解題智慧，從而建立學生解題的整體觀.

二、識圖定式

例1 （2020·全國Ⅰ卷）設函數f（x）=cos（ωx+π6）在［－π，π］的圖像大致如圖1，則f（x）的最小正周期為（? ）.

A.10π9

B.7π6

C.4π3

D.3π2

方法提煉：在識圖定式的問題中，題目給定的圖象一般是正弦函數和余弦函數經過伸縮、平移變換后的圖象，需要找到“關鍵點”以及它在正弦函數和余弦函數這兩個“模特”函數的圖象中的位置.具體來說，正弦函數圖象中的（0，0）、（π2，1）、（π，0）、（3π2，－1）、（2π，0）五點，余弦函數圖象中（0，1）、（π2，0）、（π，－1）、（3π2，0）、（2π，1）五點以及圖象上一些特殊位置、特殊函數值的點，都是需要加以關注的“關鍵點”.

問題解析：由解析式知，函數圖象由cosωx向左平移π6ω個單位得到.函數圖象過點（－4π9，0），它是問題求解的“關鍵點”.將它代入函數f（x）可得cos（－4π9·ω+π6）=0.又（－4π9，0）是函數f（x）圖象與x軸負半軸的第一個交點，對照余弦函數圖象與x軸負半軸的第一個交點，所以－4π9·ω+π6=－π2，解得ω=32，所以函數f（x）的最小正周期為T=2πω=2π32=4π3，選C.

例2 （2017·天津）設函數f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω>0，φ<π2.若f（5π8）=2，f（11π8）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，則（? ）.

A.ω=23，φ=π12? B.ω=23，φ=11π12

C.ω=13，φ=11π24D.ω=13，φ=7π24

問題解析：由T=2πω>2π，得0<ω<1.（5π8，2）、（11π8，0）是具有特殊函數值的點，是我們要找的“關鍵點”.由正弦函數圖象知，正弦函數值取到1和0的兩個自變量之間應該相差T4的奇數倍，即有11π8－5π8=3π4=2k－14T，k∈N*.易知k=1，T=3π，ω=23，代入關鍵點（5π8，2），得ω·5π8+φ=5π12+φ=π2+2kπ，φ=π12+2kπ，k∈Z，由φ<π2，k=0，φ=π12，選A.

三、圖像平移

例3 已知曲線C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+π3），則下面結論正確的是（? ）.

A.把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移π6個單位長度，得到曲線C2

B.把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移π12個單位長度，得到曲線C2

C.把C1上各點的橫坐標縮短到原來的12倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移π6個單位長度，得到曲線C2

D.把C1上各點的橫坐標縮短到原來的12倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移π12個單位長度，得到曲線C2

方法提煉：將前后兩個函數的解析式化為同名同正負同w后，抓牢前后兩個解析式中ωx+φ=0的x，它們就是“關鍵點”，它們的移動情況是整個圖象移動情況的反映.舉例如下：

考慮y=sin（2x+π4）→y=sin（2x+π3）的變換，只需分別令2x+π4=0，2x+π3=0，得x=－π8，x=－π6，判斷－π8→－π6的變換，只需向左平移π24個單位長度；考慮y=sin（2x+π4）→y=－sin（2x+π3）=sin（2x+4π3）的變換，只需分別令2x+π4=0，2x+4π3=0，得x=－π8，x=－2π3，判斷－π8→－2π3，需向左平移13π24個單位長度；考慮y=sin（2x+π4）→y=cos（2x+π3）=sin（2x+5π6）的變換，只需分別令2x+π4=0，2x+5π6=0，得x=－π8，x=－5π12的變換，判斷－π8→－5π12的變換，需向左平移7π24個單位長度.

問題解析：把橫坐標縮短到原來的12倍后，考慮y=cos2x=sin（2x+π2）→y=sin（2x+π3），尋找關鍵點：令2x+π2=0，得x=－π4；令2x+π3=0，得x=－π6，抓牢關鍵點－π4→－π6，需將曲線向右平移π12個單位長度，選C.

四、確定參數

例4 已知函數f（x）=sin（ωx+π6）（ω>0）在區間［π2，π］內單調遞減，則實數ω的取值范圍是（ ）.

A.［23，1］ B.［23，43］ C.［1，2） D.［32，2）

方法提煉：給定單調區間，首先利用區間長度不超過半個周期，可求出ω的大致范圍，再根據自變量x的取值范圍，得到ωx+φ的取值區間，根據ω的范圍求出區間端點的范圍，在正弦或余弦函數的圖象找到滿足條件的區間，得到不等式組，從而求解.

問題解析：由題意，T2≥π－π2=π2，即T≥π，又T=2πω，得到0<ω≤2，又x∈［π2，π］，所以ωx+π6∈［π2ω+π6，πω+π6］.關注左端點π2ω+π6，它是“關鍵點”，其范圍為（π6，7π6］，要使函數在［π2，π］單調遞減，對應在正弦函數圖像只能是［π2，3π2］這一段，所以π2≤π2ω+π6，πω+π6≤3π2，解得23≤ω≤43，即ω∈［23，43］，選B.

同理，若關注右端點，它是“關鍵點”，其范圍為（π6，13π6］，要使函數在［π2，π］單調遞減，對應在正弦函數圖像只能是［π2，3π2］這一段，所以π2≤π2ω+π6，πω+π6≤3π2，解得23≤ω≤43，亦可得即ω∈［23，43］，故選B.

例5 已知函數f（x）=cos2ωx2+32sinωx－12（ω>0，x∈R），若函數f（x）在區間（π，2π）內沒有零點，則ω的取值范圍是（? ）.

A.（0，512］B.（0，56）

C.（0，512］∪［56，1112］D.（0，512］∪（56，1112］

問題解析：f（x）=32sinωx+12cosωx=sin（ωx+π6），由f（x）在區間（π，2π）內沒有零點，知2π－π=π0，2ωπ+π6≤π或ωπ+π6≥π，2ωπ+π6≤2π，或ω∈（0，512］∪［56，1112］，故選C.

例6 已知函數f（x）=sinωx－3cosωx（ω>0），若方程f（x）=－1在（0，π）上有且只有四個實數解，則實數ω的取值范圍為（? ）.

A.（136，72］ B.（72，256］ C.（256，112］ D.（112，376］

問題解析：f（x）=sinωx－3cosωx=2sin（ωx－π3），由f（x）=－1，故sin（ωx－π3）=－12.由x∈（0，π），得ωx－π3∈（－π3，ωπ－π3），兩個區間端點成為“關鍵點”，對應正弦函數圖象，sinx=－12要有四個解，右端點ωπ－π3∈（19π6，23π6］，故有ω∈（72，256］，故選B.

五、教學反思

筆者在教學實踐中發現，利用“關鍵點法”能夠串聯起原本獨立的題目，學生不僅提高了解題能力，也對三角函數圖象問題有一個更整體的認知.實際上，在解題教學中，對于數學方法，教師要深切挖掘領會該種方法的數學內涵、數學原理，使之上升到數學思維層面；對于數學思維，則又結合相關類型的數學問題，通過分析其思維共性，使之上升到數學思想的層面；對于數學思想，則通過開放課程系統，如結合友鄰學科的知識、學生的生活閱歷、社會生產活動等等，使之繼續上升到哲學層面.最后再用理性、辯證的方法指導解題活動，通過這種循序漸進方式，使各個階段的教學行為之間形成緊密的關聯，切實培養學生的解題的整體觀，促進核心素養落地.