一道全國新高考Ⅱ卷題的探究與推廣

劉惠梅

2022年新高考全國Ⅱ卷第21題以解析幾何為背景設置了開放性試題，比往年明顯加大了開放題的創新力度和廣度，突出了對思維靈活性品質的考查.在考査理性思維的同時，也考查了邏輯推理、數學抽象、直觀想象核心素養，體現了素養導向、能力為重的命題原則.

一、試題呈現及分析

（2022年全國新高考Ⅱ卷21）如圖1，設雙曲線x2a2－y2b2=1（a>0，b>0）的右焦點為F2，0，漸近線方程為y=±3x.

（1）求C的方程；

（2）經過F的直線與C的漸近線分別交于A，B兩點，點P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1>x2>0，y1>0.過P且斜率為－3的直線與過Q且斜率為3的直線交于點M，從下面三個條件①②③中選擇兩個條件，證明另一個條件成立：

①M在AB上；②PQ∥AB；③AM=BM.

本題以雙曲線為切入點，以探索創新情境為載體，聚焦結構不良問題實現創新性的考察要求，重點考察與中點有關的曲線相交問題，圍繞著圖形特征的探索，考察數學探究和空間想象素養以及邏輯推理、數學運算關鍵能力，其中特別是邏輯推理能力要求較高.解題的思路有四種：（1）“設線”入手（設直線PQ方程）;（2）“設點”入手（設P，Q兩點坐標）;（3）“點差法”探索與中點有關的問題;（4）利用“直線參數方程的幾何意義”來解決問題.下面從條件出發，以“設線”入手解題.

結論4 如圖5，已知雙曲線x2a2－y2b2=1（a>0，b>0），點M不在雙曲線上且不在漸近線上，過M作斜率為－ba的直線與雙曲線和漸近線分別交于P，D，過M作斜率為ba的直線與雙曲線和漸近線分別交于Q，E，則PQ∥DE.

以雙曲線為載體的解析幾何研究是近兩年全國卷的熱點問題，雙曲線與其退化的情形（即兩條漸近線）的性質有許多共通之處，研究雙曲線和其漸近線有關的問題時，可以考慮曲直轉化.解析幾何的教學要不斷強化“文字語言、符號語言、圖形語言”三種語言轉化能力.幾何問題“解析化”是有方向可循的，首先我們要明確這是一個什么樣的幾何問題，即我們是將這個幾何問題視作整體的圖形去挖掘它的幾何特征，還是看作兩個或多個圖形去探索它們的關系，亦或者從數量關系角度進行挖掘，接著研究和探索這個幾何問題需要用到哪些代數條件，再把幾何問題代數化（有時候這個代數化過程不是很直觀，需要把幾何問題轉化為另一個等價的幾何問題后再進行代數化）.

因此，新高考下我們在復習備考中要強化自主探究，要能夠從多角度思考，深入挖掘圖形的幾何特征，掌握研究解析幾何問題的一般方法和思維方式，提升學生的解題力.