一道四川預賽試題的解法賞析

李嘉鈴

1.預賽試題

題目 （2022年全國高中數(shù)學聯(lián)賽四川預賽第6題）若△ABC的三邊a，b，c滿足a2+b2+3c2=7，則△ABC面積的最大值為??? .

這是一道只有一個條件的求三角函數(shù)面積的最值問題，注意到已知等式中a，b，c均帶平方，且a與b是對稱的，所以在選擇面積的表示方法時就要充分考慮到這些因素，為下一步求最大值做好鋪墊.

3.題后反思

這五種解法都包含兩個主要方面：面積的表示方法和求最大值的方法.

（1）面積的表示方法.因為三角形的面積公式比較多，而且用同一個公式也有不同的切入點，這就導致了這類題的解法多樣，這五種方法就是這樣產(chǎn)生的.不同的表示方法也基本決定了后面解題過程的走向和難易程度，所以選一個好的表示方法很重要.

（2）求最大值的方法.這五種方法求最大值的過程看起來都不一樣，但基本方法其實有共同之處：都對式子進行放縮，直到得出定值，最后確定等號成立的條件；放縮的方法主要是基本不等式和一些常見結(jié)論.所以，解這類題至關(guān)重要的是放縮對象的選擇和基本不等式的選用，而基本不等式的選用又取決于放縮對象的特點和題中的條件.那么，只要掌握了選擇放縮對象的方法，基本就等于掌握了解這類題的鑰匙.因為成功的放縮必須保證等號能成立，而基本不等式一般有兩大特點：式子具有對稱性，等號成立的條件多數(shù)是變量相等.注意到條件a2+b2+3c2=7中a和b是對稱的，所以，五種解法都把由a和b組成的對稱式作為放縮的對象，這樣能保證等號成立.

從以上分析可知，選擇一種好的表示方法和（在有對稱變量的情況下）構(gòu)造出對稱式作為放縮對象就是解這類問題的鑰匙.