導函數零點不可求問題的破解策略

梁加林

我們在利用導數求函數的單調區間或者極值時，經常會遇到導函數方程f′（x）=0是一個超越方程或是一個含有參數的二次方程，使我們無法求出方程根或者無法清晰的表述方程根的情況，此時我們可能是束手無策，無法繼續下去了，其實問題并非是無從下手，而可能是我們知識儲備不夠豐富，方法研究不夠透徹，針對這個常見的解題現象，本文通過對典型例題的分析探求，介紹常用的五種處理手段，供讀者朋友參考.

一 賦值探求

如果導函數涉及的是關于lnx的復合函數時，一般可令x=et，特別的是令x=1或者x=e進行試探；如果導函數涉及的是關于ex的復合函數時，一般可令x=lnt，特別的是令x=0或者x=1進行試探求解.

例1 已知函數f（x）=a－exx+alnx，若a∈R且a

析解：由題設可得定義域為x>0，又f′（x）=－ex·x－（a－ex）x2+ax=（1－x）（ex－a）x2.當a≤0時，ex－a>0，令f′（x）=0，得x=1，而當00，f（x）是增函數；當x>1時，f′（x）<0，f（x）是減函數，即函數的單調增區間為（0，1），單調減區間為（1，+∞）.當00，f（x）是增函數；當x∈（1，+∞）時，f′（x）<0，f（x）是減函數．所以此時函數的單調減區間為（0，lna）和（1，+∞），單調增區間為（lna，1）.

點評：如果導函數方程是超越方程，不應該用常規解方程的方法求解，需要靈活地使用相關的特殊值驗算得出，這是一個重要的解題共識.

二 虛設零點

通過假設x0是方程f′（x）=0的根，然后將x0代入方程并設法消去參數，重新構造出關于零點的一個單一函數，這樣就能把題目轉化為常規的方程問題了.