例析雙曲正弦函數在導數壓軸題中的應用

范明輝

一、雙曲正弦函數

人教A版普通高中課程標準教科書《數學1必修》（2019年）第160頁第6題，以證明題的形式給出了雙曲正弦函數f（x）=ex－e－x2和雙曲余弦函數g（x）=ex+e－x2的相關結論.容易發現雙曲余弦函數g（x）就是雙曲正弦函數f（x）的導函數，而雙曲正弦函數f（x）在原點處的切線為y=x，易證：當x≥0時，ex+e－x2≥x，當且僅當“x=0”時取等號.

二、典例精析

通過研究2022年新高考II卷的導數壓軸題和兩道模考試題的導數壓軸題，可以發現雙曲正弦函數在導數壓軸題中形式多變，應用廣泛，具有重要的研究價值.

例1 （2022年新高考II卷第22題）已知函數f（x）=xeax－ex．（1）當a=1時，討論f（x）的單調性；（2）當x>0時，f（x）<－1，求a的取值范圍；（3）設n∈N*，證明：112+1+122+2+…+1n2+n>ln（n+1）．

分析：對于第（3）問，ln（n+1）=［ln（n+1）－lnn］+［lnn－ln（n－1）］+…+（ln2－ln1）+ln1，是通過“裂項相消”轉化而來的，因此只需要證明通項1n2+n>ln（n+1）－lnn即可.即轉化為證明：1n2+n=n+1－nnn+1=n+1n－nn+1>lnn+1n，記t=n+1n（t>1），則等價于證明t－1t>2lnt（t>1），用ex換t，即ex－e－x>2x（x>0）.

評析：由上述分析可知，這道高考題第（3）問，本質上考查的是雙曲正弦函數在x=0處的切線不等式的等價變形t－1t>2lnt（t>1）以及數列求和的重要方法——裂項相消法，對不等式內容與數列知識的考查水乳交融，且題根源自于教材課后習題.

例2 （2023屆湖北圓創第一次聯合測評第22題）已知函數f（x）=ex+12x2－ax+1（a∈R），其中e是自然對數的底數.（1）設f（x）的極小值為h（a），求h（a）的最大值；（2）若存在x1，x2x1≠x2使得fx1=fx2，且x1+x2=1，求a的取值范圍.

分析：對于第（2）問，不妨設x112，故可設x1=12－t，x2=12+t，t>0.又因為存在x1，x2x1≠x2，使得fx1=fx2，所以可轉化為：存在t>0，使得e12－t+12×（12－t）2－a（12－t）+1=e12+t+12×（12+t）2－a（12+t）+1.整理得e12+t－e12－t+（1－2a）t=0，即存在t>0，使得et－e－t+1－2aet=0.上式中出現了結構et－e－t，因此聯想到雙曲正弦函數在x=0處的切線不等式，構造并轉化為：

存在t>0，使得et－e－t－2t+（2+1－2ae）t=0，由于et－e－t－2t>0（t>0）恒成立，故必有2+1－2ae<0成立，即a>12+e.

評析：這道模考題的第（2）問，屬于探索創新情境，通過對題設條件的轉化，觀察代數結構，聯想到教材習題中的雙曲正弦函數的切線不等式，進而輕松求出參數的范圍.

例3 函數f（x）=ex－1ex，h（x）=xx+1，

（1）判斷x>0時，f（x）－h（x）的零點個數，并加以說明；（2）正項數列an滿足a1=1，ane－an+1=fan，11判斷數列an的單調性并加以②證明：∑n+1i=1ai<2－（12）n.

分析：對于第（2）問②，將a1=1代入原不等式之中，左右兩邊進行變形可得a2+a3+…+an+an+1<1－（12）n=12×［1－（12）n］1－12=12+（12）2+…+（12）n，只需證明an+1<（12）n，進一步只需證明an+1an，令t=an2（t>0），則只需證et－e－t－2t>0（t>0）.

評析：本題第（2）問22，屬于課程學習情境，在不等式與數列交匯處命題，與例1有異曲同工之妙.試題的本質最終還是回歸到證明雙曲正弦函數在x=0處的切線不等式.

三、結語

以上探究內容，根源還是來自于對教材課后習題功能的深度挖掘，充分體現出“用教材教，而不是教教材”的思想觀念.借助于對高考真題的深入分析，結合課后習題內容，得到雙曲正弦函數在x=0處的切線不等式，并應用于解決導數壓軸題，這是教與研深度交融的結果.