一道聯(lián)考測(cè)試題的探究與拓展
2023-09-12 02:46:22連其秀
中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2023年9期
連其秀
題目 已知圓O：x2+y2=5，橢圓Γ：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1且垂直于x軸被橢圓和圓所截得弦長(zhǎng)分別為1和22.（1）求橢圓Γ的方程；（2）如圖1，P為圓O上任意一點(diǎn)，過P分別作橢圓兩條切線切橢圓于A，B兩點(diǎn).（i）若直線PA的斜率為2，求直線PB的斜率；（ii）作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，求證：QF1+QF2為定值.
本題是安徽省六校教育研究會(huì)2021屆高三聯(lián)考能力測(cè)試（理）試題第20題，其答案是：（1）橢圓Γ的方程為x24+y2=1；（2）（i）直線PB的斜率為－12；（ii）QF+QF2為定值85.其中破解（2）的（i）、（ii）的關(guān)鍵步驟分別是求得直線PA，PB的斜率之積k1k2=－1，及點(diǎn)Q的軌跡為與橢圓Γ有公共焦點(diǎn)的橢圓5x216+5y2=1.觀察圓O：x2+y2=5和橢圓Γ：x24+y2=1，發(fā)現(xiàn)5=4+1.
我們不禁要問：對(duì)于一般的圓O：x2+y2=a2+b2和橢圓Γ：x2a2+y2b2=1（a>b>0），直線PA，PB的斜率之積k1k2=？點(diǎn)Q的軌跡是否為與橢圓Γ有公共焦點(diǎn)的橢圓？
