一道聯(lián)考題的命題背景及拓展

王麗 朱亞旸 王小國

一、考題再現(xiàn)

題目 （2022年T8聯(lián)考第8題）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），直線l過坐標(biāo)原點并交橢圓于P，Q兩點（P在第一象限），點A是x軸正半軸上一點，其橫坐標(biāo)是點P橫坐標(biāo)的2倍，直線QA交橢圓于點B，若直線BP恰好是以PQ為直徑的圓的切線，則橢圓的離心率為（? ）.

A.12? B.22? C.33? D.63

二、背景分析

本題的背景在人教A版教材有四處，分別如下：

背景1 （選擇性必修二第88頁綜合運用）已知圓的一條直徑的端點分別是A（x1，y1），B（x2，y2），求證此圓的方程為（x－x1）（x－x2）+（y－y1）（y－y2）=0.

證明：對于圓上任意點P（x，y）（不與A，B重合），只須PA·PB=0，或kPA·kPB=－1.

背景2 （選擇性必修二第108頁例3）如圖1，設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為（－5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是－49，求點M的軌跡方程.

背景3 （選擇性必修二第121頁探究）如圖2，點A，B的坐標(biāo)分別為（－5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點M，且他們的斜率之積是49，試求點M的軌跡方程，并由點M的軌跡方程判斷軌跡的形狀，與3.2例3比較，你有什么發(fā)現(xiàn)？

背景4 （選擇性必修二第146頁第11題）已知ΔABC的兩個頂點A，B的坐標(biāo)分別是（－5，0），（5，0），且AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0），求頂點C的軌跡.

以上四道教材習(xí)題都有共同的特征，存在關(guān)于軌跡的對稱中心對稱的兩點A，B，對軌跡上任意點P，都有直線PA，PB的斜率之積為一個定值，其一般情形可以歸結(jié)為：

定理1 平面內(nèi)與兩個定點A（－a，0），B（a，0）的斜率乘積等于常數(shù)e2－1的點的軌跡叫橢圓或雙曲線（不含兩個頂點），其中兩個定點分別為橢圓或雙曲線的頂點，當(dāng)常數(shù)大于－1小于0時為橢圓，此時e2－1=－b2a2，當(dāng)常數(shù)大于0時為雙曲線，此時e2－1=b2a2.

推論1 平面內(nèi)與兩個關(guān)于原點對稱的點A（m，n），B（－m，－n）的斜率乘積等于常數(shù)e2－1的點的軌跡叫橢圓或雙曲線，當(dāng)常數(shù)大于－1小于0時為橢圓，此時e2－1=－b2a2，當(dāng)常數(shù)大于0時為雙曲線，此時e2－1=b2a2.

定理2 若AB為“有心圓錐曲線”的直徑，點M為曲線上異于A，B的任一點，則kAM·kBM=e2－1.（圓可視為離心率為0）如圖3.

下面以橢圓x2a2+y2b2=1為例證明.（圓、雙曲線讀者自證）

證明：設(shè)Ax1，y1，B－x1，－y1，Mx，y，則y2=b2·1－x2a2，y12=b2·1-x12a2，∴kAM·kBM=y-y1x-x1·y+y1x+x1=y2-y12x2-x12

=b2·1-x2a2-b2·1-x12a2x2-x12=-b2a2=e2-1.

推論2 若點M是“有心圓錐曲線”的弦AB的中點，其中AB不平行于對稱軸且不過曲線中心O，則kAM·kBM=e2－1.如圖4.

我們現(xiàn)在用點差法對橢圓進(jìn)行證明，雙曲線、圓可類似證明.

如上圖，設(shè)橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1a>b>0，直線l與橢圓C的兩個交點分別為Ax1，y1，Bx2，y2，線段AB的中點M，則

x12a2+y12b2=1，

x22a2+y22b2=1，兩式相減得x1－x2x1+x2a2+y1－y2y1+y2b2=0，y1－y2·2yMx1－x2·2xM=－b2a2，即有kAB·kOM=－b2a2=e2－1.

其本質(zhì)與定理2是一致的，即kOM·kPB=kPA·kPB=e2－1.

利用上述結(jié)論，我們可容易給出考題的答案.

圖5

考題解析：如圖5，不妨設(shè)P（m，n），則A（2m，0），設(shè)直線PQ的斜率為k，依題有kAQ=n3m=k3，kBP=－1k，P，Q關(guān)于原點對稱，由定理2可知kAQkBP=－13=e2－1e=63.

三、試題鏈接

題1 （2014年浙江省五校高三第二次聯(lián)考理科第9題）已知橢圓C：x22+y2=1，點M1，M2，…，M5為其長圖6軸AB的六等分點，分別過這五點作斜率為kk≠0的一組平行線，交橢圓C于P1，P2，…，P10（如圖6），則直線AP1，AP2，…，AP10這10條直線的斜率乘積為（ ）.

A.－116 B.－132? C.164? D.－11024

解析：此題中點A，B為橢圓的左右頂點，不妨將這10個點與點B連結(jié)，由對稱性，知kAP10=kBP5，kAP9=kBP4，kAP8=kBP3，kAP7=kBP2，kAP6=kBP1，由定理2可知kAP1·kAP2·kAP3·kAP4·kAP5·kAP6·kAP7·kAP8·kAP9·kAP10=（kAP1·kBP1卷）·（kAP2·kBP2）·（kAP3·kBP3）·（kAP4·kBP4）·kAP5·kBP5=－125=－132，故選B.

圖7

題2 （2010年高考山東卷理科第21（2）題）如圖7，已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為22，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形的周長為42+1，一條等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A，B和C，D.（1）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2=1.

解析：（1）由題意知ca=22，

2a+2c=42+1，解得a=22，c=2，故b2=a2－c2=4，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28+y24=1.故橢圓的焦點坐標(biāo)為（±2，0），因雙曲線為等軸雙曲線，且頂點是該橢圓的焦點，故該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24－y24=1.

（2）由定理1知k1k2=e2－1=b2a2=44=1.（過程略）

四、結(jié)語

中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的習(xí)題凝聚了幾代數(shù)學(xué)教育家的智慧，具有典型性、示范性、遷移性等特點.其背后隱藏著深遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)背景，是高考數(shù)學(xué)試題命題的附著點與根源，具有深刻的研究價值.縱觀近十年的高考數(shù)學(xué)題，大量命題都與教材關(guān)聯(lián)密切.因而，作為教師在指導(dǎo)學(xué)生高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時要適時回歸教材，通過對教材中有價值的材料以及拓展資源，鏈接歷年高考試題，培養(yǎng)學(xué)生能系統(tǒng)地對教材進(jìn)行深入思考，深度挖掘，延申拓展的意識，深度整合并展示其共性規(guī)律，幫助學(xué)生完善知識網(wǎng)絡(luò)，促進(jìn)深度學(xué)習(xí).也讓教材成為提升學(xué)生思維能力的一種工具，基于此，在數(shù)學(xué)問題求解中，便能借助模型、規(guī)律的敏感性，既使得問題化繁為簡，事半功倍！也能火眼金睛，看清問題之本質(zhì).