聚焦參數方程在解題中的應用

■四川省綿陽實驗高級中學 馮 歡

參數方程是高中階段的選修內容,在考題中常聚焦于直線與圓錐曲線的參數方程,參數方程與普通方程的互化,以參數方程為載體考查直線與圓錐曲線的位置關系,進一步研究最值、范圍等問題。這些是命題的焦點,但是試題難度均不大。若將參數方程靈活地應用于圓錐曲線中,則會大大降低解題難度,拓寬解題思路。下面結合最新模擬試題介紹參數方程在解題中的應用,僅供復習參考。

一、以參數方程為載體的圓錐曲線的幾何問題

例1(多選題)已知橢圓1上有一點P,F1,F2分別為橢圓C的左焦點和右焦點,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面積為S,則下列選項正確的是( )。

A.若θ=60°,則

評注:解決橢圓中的焦點三角形問題一直是一個熱點,特別是涉及面積問題,這時我們要靈活運用橢圓的定義、余弦定理等。本題在判斷D 選項時需要求長度,該長度很特殊,與矩形的頂點坐標相關,這時我們可以用參數表示坐標,轉化為三角函數問題,通過配角求最值。

二、以參數方程為載體的圓錐曲線的最值問題

1.萬變不離“參數法表距離”之橢圓國的參數應用

評注:對于該問題,首先要弄清楚已知條件,從平方和等于0 可以得到兩個平方分別為0,這時得到對應的兩個點分別在直線和橢圓上。本題就轉化為求橢圓上的點到直線的距離的最小值,這類問題的解決方法通常是切線法和參數法,切線法的計算量偏大,所以參數法是我們的優選方法。寫出橢圓的參數方程,表示出橢圓上的點到直線的距離,再轉化為三角函數求最值或值域問題。

2.萬變不離“參數法表距離”之拋物線國的參數應用

例3在平面直角坐標系xOy中,曲線C的參數方程為數),以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,直線l的極坐標方程為

(1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程;

(2)設P是曲線C上的動點,求點P到直線l的距離的最值。

評注:參數方程與普通方程的互化通常用cos2α+sin2α=1。

3.萬變不離“參數法表距離”之圓國的參數應用

(1)求曲線C的軌跡方程,并判斷軌跡的形狀;

(2)設P為曲線C上的動點,且有O(0,0),A(1,0),求|PO|2+|PA|2的最大值。

解析：(1)消去參數θ,有(x+1)2+(y-2)2=(3cosθ)2+(3sinθ)2=9,即曲線C的軌跡方程為(x+1)2+(y-2)2=9,軌跡是以（-1,2）為圓心,3為半徑的圓。

(2)設點P的坐標為(3cosθ-1,3sinθ+2),則|PO|2+|PA|2=(3cosθ-1)2+(3sinθ+2)2+(3cosθ-2)2+(3sinθ+2)2=18cos2θ+18sin2θ-18cosθ+24sinθ+13=6(4sinθ-3cosθ)+31。

又因為4sinθ-3cosθ=5sin(θ-φ)∈[-5,5],其中φ為銳角,且,所以|PO|2+|PA|2的最大值為61。

三、以直線的參數方程為載體的范圍、求值問題

評注:本題考查的知識點主要有:①會寫出直線的參數方程;②理解直線的參數方程中的t的幾何意義。第(2)問中出現直線上的定點到動點M,N的距離,這時引入直線的參數,將所求問題轉化成三角函數求取值范圍問題,由于是相交,再結合Δ=,進一步求取值范圍。