合理構建坐標系，方程間轉化應用
——坐標系與參數方程

■湖北省恩施土家族苗族自治州高級中學 劉秀軍

坐標系與參數方程在高考中主要以解答題的形式加以單獨考查,此部分的高考考試大綱要求是:了解坐標系的建立方法和原則,體會在不同的坐標系中用有序實數組表示點的位置,理解方程與圖形、方程與方程的關系,掌握簡單的參數方程、極坐標方程和直角坐標方程之間的互化,會從質點運動等實際問題中抽象出數學問題,并建立模型求解質點的參數(或極坐標)方程及解決簡單的相關問題。

一、極坐標方程及其應用問題

極坐標方程問題包括:理解極坐標系中相關元素的概念與幾何意義,極坐標方程的基本概念與內涵,極坐標方程和直角坐標方程之間的轉化與應用等。

例1在平面直角坐標系xOy中,已知曲線C1:x+y=1與曲線C2:,以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系。

(1)寫出曲線C1,C2的極坐標方程;

(2)在極坐標系中,已知射線l:θ=α(ρ＞,若射線l與曲線C1,C2的公共點分別為A,B,求|OA|·|OB|的最大值。

分析：(1)直接利用轉換關系,在參數方程、極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉換與應用;(2)利用極徑的三角函數的變換和正切函數的性質求出結果。

解：(1)已知曲線C1:x+y=1,將x=ρcosθ,y=ρsinθ,代入得曲線C1的極坐標方程為ρcosθ+ρsinθ-1=0。

點評:解決極坐標方程問題的基本思路是:①將極坐標方程與直角坐標方程相互轉化,得到對應點的直角坐標或極坐標,以及相互之間的關系等;②將曲線的極坐標方程進行合理聯立,結合極徑的幾何意義及限制條件求出極坐標,從而巧妙得解。此類極坐標方程問題重點考查方程之間的轉化,以及同學們的數學運算能力、化歸與轉化能力等。

二、參數方程及其應用問題

參數方程問題包括:理解參數方程的基本概念與參數的幾何意義等,能熟練掌握相應的直線、圓、圓錐曲線等所對應的參數方程,以及參數方程與直角坐標方程之間的相互轉化,并會加以簡單應用。

例2(創新題)在極坐標系中,圓C:ρ=4cosθ。以極點O為坐標原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標系xOy,直線l經過點M(-1,-3 3),且傾斜角為α。

(1)求圓C的直角坐標方程和直線l的參數方程;

(2)已知直線l與圓C交于A,B兩點,滿足A為MB的中點,求α。

分析：(1)根據圓C的極坐標方程,結合等價變換,利用直角坐標與極坐標之間的轉化公式得以確定圓C的直角坐標方程;直接利用題設條件確定相應的直線的參數方程。(2)設出A,B對應的參數,將直線l的參數方程代入圓C的直角坐標方程,構建關于參數t的一元二次方程,結合韋達定理及參數的幾何意義,通過關系式的變形與轉化得以確定對應的三角函數關系式,結合直線傾斜角的取值范圍來確定與求解對應角即可。

解：(1)由 圓C:ρ=4cosθ,可 得ρ2=4ρcosθ,結合公式ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,可得x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4,故圓C的直角坐標方程為(x-2)2+y2=4。

點評:參數方程與極坐標方程、直角坐標方程的等價轉化是比較常見的考點,而參數方程中,對應參數的幾何意義,也是創設試題考查的一個層面,熟練掌握并利用參數的幾何意義,以及對應參數的取值范圍與限制條件等,可以更加有效快捷地處理一些相關的參數方程問題,實現問題的轉化與應用。

三、簡單應用問題

通過對坐標系與參數方程內容的深入理解與掌握,體會從實際問題中抽象出數學問題的過程,進而培養探究數學問題的興趣和能力,體會數學在實際中的應用價值,提高應用意識、創新意識與實踐能力。

(1)求圓C1的極坐標方程及曲線C2的直角坐標方程;

分析：(1)直接利用題設條件,以及不同方程之間的轉換關系式,將參數方程、極坐標方程和直角坐標方程進行轉換;(2)利用三角形的面積公式、三角函數的變換和正弦型函數的性質的應用等,合理交匯與融合,結合數學運算與邏輯推理求出結果。

解：(1)圓C1的普通方程為(x-2)2+y2=4,展開得x2+y2-4x=0,將x=ρcosθ,x2+y2=ρ2,代入可得ρ2-4ρcosθ=0,即ρ=4cosθ,所以圓C1的極坐標方程為ρ=4cosθ。

點評:此類涉及坐標系與參數方程的簡單應用問題,經常在極坐標方程、參數方程、直角坐標方程的互化與應用的基礎上,合理聯系函數與方程、三角函數、不等式等其他相關知識,實現不同知識間的交匯融合,以此為背景來解決一些與之相關的簡單應用問題,全面考查同學們解決問題的能力。

坐標系與參數方程部分的考查是以解答題的形式出現,以極坐標方程、參數方程、直角坐標方程的互化與應用為基礎,融入平面解析幾何、函數、方程等其他相關的知識,難度中等,重點考查代數運算與邏輯推理等核心素養,以及函數與方程思想、化歸轉化思想與數形結合思想等。