常見曲線的參數方程及其應用

■江蘇省東臺中學 王 琦

參數方程是《坐標系與參數方程》部分的一個基本知識點,也是每年高考中該模塊考查的重點之一。參數方程涉及的曲線類型比較多,主要是直線、橢圓、雙曲線及一些其他的曲線等,關鍵是合理變形與轉化,與極坐標方程、直角坐標方程等形成呼應并相互轉化,為進一步的綜合與應用提供條件。

一、直線的參數方程

例1(2022～2023 學年貴州省貴陽市高三(上)摸底數學試卷(8 月份))在平面直角坐標系xOy中,以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,直線l的參數方程為,曲線C的極坐標方程為ρ=4cosθ。

(1)求直線l與曲線C的普通方程;

(2)已知點M的直角坐標為(1,0),直線l與曲線C交于不同的兩點A,B,求|MA|+|MB|的值。

由于時代變化，出租車生意沒有以前那么好了，干這一行的，養家糊口也就變得艱難。因此，蔡瀾平日碰到的的士司機總在怨聲載道，遇上堵車可能還會罵罵咧咧。

(1)當a=3時,求曲線C與直線l的交點的坐標;

例2(2022～2023 學年內蒙古包頭市高三(上)調研數學試卷)在平面直角坐標系xOy中,以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C的參數方程為,直 線l的 極坐標方程為ρsinα-2ρcosα+a-1=0。

二、橢圓的參數方程

解析：(1)由于曲線C的極坐標方程為ρ=4cosθ,則ρ2=4ρcosθ,將ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,代入得x2+y2=4x,即曲線C的普通方程為x2+y2-4x=0。

（2）基床頂面的最大應力為485.6 kPa，根據測量資料，工程區域地基承載力極限值為1529.6 kPa，可見工程區域地基能夠承受基床頂面的應力，設計合理。

(2)若曲線C上的點到直線l的距離的最大值為,求實數a的值。

三、雙曲線的參數方程

(1)求曲線C和直線l的普通方程;

1-10月，在公司化工原輔料、煤炭、材料、動靜設備、電氣儀表及配件庫存物資中，動靜設備資金量占倉庫庫存賬面物資69%。其中，壓縮機配件、汽輪機水輪機配件及工業泵配件等特殊儲備占據24.9%。從控制效果看，5月煤炭和備件占用少，控制最好。公司對比標桿找差距，用“縱尺”和自己較真，制定報廢處置尿素裝置舊備品備件。

理解并掌握一些常見的曲線(直線、圓錐曲線等)的參數方程,對于解決該模塊的問題,可以更加靈活便捷,處理起來往往能化繁為簡,迎刃而解,取得事半功倍的效果,也是高考對該模塊考查的重點與難點;同時還能有效交匯與融合其他的數學知識,構建更加完整的數學知識體系。