不等式選講中的易錯題剖析

■江蘇省蘇州高新區第一中學 周恩超

不等式選講主要以中檔題為主,主要考查對象為一元函數與多元函數,一元函數主要是雙絕對值函數和單絕對值函數,以考查雙絕對值函數為主,多元函數主要是求最值或證明不等式。第一問主要是解雙絕對值不等式或畫雙絕對值函數的圖像,第二問則為雙絕對值不等式恒成立、雙絕對值不等式能成立或不等式證明等。重點考查同學們的數學運算和邏輯推理等核心素養。本文針對在學習和復習這部分內容中出現的易錯題進行錯因分析,希望能更好地幫助同學們學好這部分知識。

易錯點一、不能正確使用零點分段法解不等式,絕對值不等式求解技能掌握不到位

例1(2023 年四川省南充高級中學模擬預測)已知m＞0。

(1)若m=2,求不等式f（x）＞2 的解集;

易錯分析：第(1)問不能正確去掉絕對值或者運算能力不過關,缺少對細節的把握;第(2)問不會轉化成分段函數,結合圖像法討論單調性,利用數形結合的思想求解。

當x＜-1時,g（x）單調遞增;當-1≤x≤m時,g（x）單調遞增;當x＞m時,g（x）單調遞減。所以當x=m時,g（x）取得最大值,即g（x）max=g（m）=m+1。

所以m的取值范圍為（0,8]。

總結：對于含絕對值的不等式的求解一般采用零點分段法,其解題步驟大致為:①求零點;②分區間去掉絕對值;③分別解各區間上所得不等式;④取所得結果的并集。注意在分段時不要遺漏區間的端點值。也可以采用圖像法,通過作出函數的圖像,利用數形結合的思想求解。

易錯點二、不能正確分辨恒成立與有解問題

(1)求不等式f（x）＞4的解集;

(2)若f（x）≥x2+m的解集非空,求實數m的取值范圍。

易錯分析：解集非空即不等式有解,并不需要m≤[f（x）-x2]min,只需要m≤[f（x）-x2]max,沒有弄清楚有解問題和恒成立問題的區別。

正解：(1)不等式f(x)＞4 的解集為（-∞,0）∪（4,+∞）。(過程略)

(2)因為f（x）≥x2+m的解集非空,所以m≤f（x）-x2的解集非空,即m≤[f（x）-x2]max。

當x≤1時,g（x）=-x2-2x+4,對稱軸為x=-1,開口向下,所以g（x）≤g（-1）=5;

當1＜x＜3時,g（x）=-x2+2,對稱軸為x=0,開口向下,所以g（x）＜g（1）=1;

當x＞3時,g（x）=-x2+2x-4,對稱軸為x=1,開口向下,所以g（x）≤g（3）=-7。

綜上可得,g（x）max=5,即m≤5。

所以實數m的取值范圍為（-∞,5]。

總結：恒成立、能成立、恰成立問題的基本類型及轉化方法:(1)恒成立問題的轉化:a＞f（x）在D上恒成立?a＞f（x）的解集包含D??x∈D都有a＞f（x）?a＞f（x）max;(2)能成立問題的轉化:a＞f（x）在D上能成立??x∈D有a＞f（x）?a＞f（x）min;(3)恰成立問題的轉化:a＞f（x）在D上恰成立?a＞f（x）的解集為D?另一轉化方法為:若x∈D,f（x）≥a在D上恰成立?f（x）min=a。

易錯點三、絕對值三角不等式的使用方向或系數配湊不合理

例3(中學生標準學術能力診斷性測試2022～2023學高三上學期11月測試理科數學試題)已知a和b是任意非零實數。

易錯分析：絕對值三角不等式的使用方向或配湊不合理,導致題目無法正確解答。

總結：對于含有絕對值的函數求最值問題,應優先考慮使用絕對值三角不等式,但使用絕對值三角不等式時,首先,要有目標意識,在配湊時要結合目標把不等式中的未知數消掉;其次,要注意不等號的方向和等號成立的條件。

易錯點四、利用基本不等式或柯西不等式證明時,不能根據不等式的特點合理配湊

例4(2023 年江西省景德鎮模擬預測,2022 年貴州省貴陽一中高三階段練習)函數

(1)求函數f（x）的最小值;

(2)若(1)中函數>f（x）的最小值為k,且實數a,b,c滿足a+2b+4c=k,求證:a2+

易錯分析：不理解柯西不等式的使用條件,不能根據所求代數式的結構特征進行合理配湊。

正解：(1)當x≥1 時,f（x）=4x-1,f(x)為單調遞增函數,所以此時函數f(x)的最小值為f(1)=3;

總結：利用基本不等式或柯西不等式證明不等式時,可以按照以下流程進行處理:審題(觀察式子結構)→結構分析(多元、和為定值)→選擇模型(均值、柯西)→對比結構(確定變形方向)→解答問題。

易錯點五、不等式的證明方法選擇不當

例5(2022年云南省昆明一中高三)已知正數a,b,c滿足等式a+b+c=1。求證:

易錯分析：不能正確使用不等式的證明方法:綜合法和分析法。

總結：對于不等式的證明問題常用比較法、綜合法和分析法。(1)一般地,對于含根號的不等式和含絕對值的不等式的證明,“平方法”(即不等號兩邊平方)是一個非常有效的方法。(2)如果所證命題是否定性命題,或唯一性命題,或以“至少”“至多”等方式給出,則考慮用反證法。(3)能轉化為比較大小的可以用比較法。(4)能利用基本不等式或柯西不等式證明的多用綜合法與分析法。