柯西不等式的應用及其考查類型

■江蘇省靖江市斜橋中學 周琳娟

柯西不等式是不等式選講部分中的重要不等式之一,是該選修部分的主要內容之一,也是歷年高考數學試卷中的重要考點與熱點之一,題目創新新穎,常考常新,形式多樣,變化多端。在高考數學試卷中,經常借助柯西不等式來求解相關代數式的最值問題,以及對應不等式的證明問題等。

一、最值求解問題

應用柯西不等式求解最值問題時,其關鍵是構建條件與結論之間的聯系,通過合理的恒等變形與配湊轉化,使之符合柯西不等式的結構,利用柯西不等式來轉化所求的代數關系式,聯系條件來確定對應的最值問題。

例1已知函數f(x)=|2x-1|+|x+1|。

(1)求不等式f(x)≥3的解集;

(2)記函數f(x)的最小值為m,若a,b,c均為正實數,且,求a2+b2+c2的最小值。

分析：根據絕對值不等式得出函數f(x)的分段函數表達式。(1)根據分段函數進行分類討論就能求出不等式f(x)≥3的解集;(2)利用分段函數的圖像與性質確定f(x)的最小值,進而確定參數m的值,即得到對應關系式,利用柯西不等式的轉化來確定相關代數式的最小值。

點評:涉及代數式的最值求解問題,關鍵是合理構建已知條件與所求代數式之間的聯系,合理配湊符合柯西不等式應用的結構特征,從系數、參數等不同視角加以合理變形與轉化,進而利用柯西不等式來確定相關代數式的最值問題。

二、不等式證明問題

應用柯西不等式來證明不等式問題時,其關鍵是恰當變形,化為符合柯西不等式的結構形式,當一個式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式時,就可應用柯西不等式對這個式子進行縮小或放大,從而證得對應的不等式成立。

例2(創新題)已知正數x,y,z滿足x+y+z=1。求證:

分析：(1)結合所要證明的不等式,引入一次線性關系式進行配湊,利用柯西不等式加以轉化,并利用不等式的性質與恒等變形來證明對應的不等式成立;(2)通過巧妙引入(x2+y2+z2)2,利用柯西不等式的轉化,并結合基本不等式的應用加以綜合,進而合理巧妙證明對應的不等式成立。

點評:涉及不等式的證明問題,關鍵是厘清不等式兩邊的關系,認清其內在的結構特征,以及所要證明不等式的適當變形與轉化,借助常數的巧拆、結構的巧變、巧設數組等形式,合理配湊運用柯西不等式的條件,進而加以合理證明不等式成立。

三、綜合應用問題

應用柯西不等式來解決一些綜合應用問題時,涉及最值求解、不等式證明,以及多個知識點之間的交匯與融合等,其關鍵還是厘清柯西不等式的結構特征及所要求解問題之間的聯系,合理轉化,巧妙配湊。

(1)求m的值;

(2)對于任意的x∈D,求證:f(x)≤g(a,b,c)。

分析：(1)先求出函數的定義域,借助柯西不等式進行變形與轉化,確定函數的最大值,進而得以確定參數m的值;(2)借助換元處理,令b+c=x,c+a=y,a+b=z,將函數g(a,b,c)加以恒等變形與轉化,利用基本不等式確定對應的最小值,并結合f(x)的最大值,得以證明對應的不等式成立。

點評:涉及綜合應用問題,同樣是適當改變一些相關條件中的多項式的形態結構特征,對比柯西不等式的應用形式進行適當放縮與變形處理,并會結合條件進行必要的恒等變形與巧妙轉化,綜合其他相關知識,來達到利用柯西不等式解決綜合應用問題的目的。

作為不等式選講中的基本知識點之一的柯西不等式,是高考的基本考點之一,是重要不等式中一個比較常用的不等式。在實際利用柯西不等式求解相關代數式的最值、不等式的證明及綜合應用等問題中,經常要進行結構特征的對比與關系式的巧妙處理,合理應用湊項、拆項、分解、組合等技巧策略,確保不等式成立時等號成立的條件,進而利用柯西不等式來解決相關的問題。