認(rèn)知發(fā)展理論下培養(yǎng)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的研究

☉劉燕如

小學(xué)階段是學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的基礎(chǔ)階段，此時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的思維習(xí)慣是小學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的實(shí)際需求。在這一階段，學(xué)生的思維處于知識(shí)框架的建立期，思維跳躍性強(qiáng)，且具有傾向性探索的特點(diǎn)，因此，教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生的心理認(rèn)知特點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)認(rèn)知發(fā)展課堂教學(xué)模式，將轉(zhuǎn)化思想滲透融入到適合學(xué)生心理思維特點(diǎn)的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，切實(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

一、指向數(shù)與代數(shù)，談數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的特征

數(shù)與代數(shù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)蘊(yùn)含著豐富的轉(zhuǎn)化思想方法，根據(jù)轉(zhuǎn)化內(nèi)容的不同可以得到數(shù)與數(shù)、數(shù)與形、數(shù)的運(yùn)算、式與方程、常見單位量、規(guī)律轉(zhuǎn)換等幾種類型。不同的轉(zhuǎn)換類型對(duì)應(yīng)了不同的思維方式，因此，教師應(yīng)結(jié)合每一種數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的具體特征以及學(xué)生的認(rèn)知心理特點(diǎn)，對(duì)數(shù)與代數(shù)內(nèi)容中的轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行系統(tǒng)性的梳理分析，設(shè)計(jì)高效的教學(xué)活動(dòng)，從而促進(jìn)轉(zhuǎn)化思想的滲透。

（一）結(jié)構(gòu)性，分析邏輯框架

轉(zhuǎn)化思想的結(jié)構(gòu)性是指在數(shù)與代數(shù)相關(guān)內(nèi)容中的轉(zhuǎn)化過程具有清晰的轉(zhuǎn)換邏輯框架，是一種十分有序的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。因此，教師可以設(shè)計(jì)探究性活動(dòng)，組織學(xué)生深入探究不同轉(zhuǎn)化過程中所包含的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化規(guī)律，認(rèn)清多種轉(zhuǎn)化方式的本質(zhì)特征，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)與代數(shù)轉(zhuǎn)化過程的體系架構(gòu)［1］。

小學(xué)數(shù)學(xué)中的基本運(yùn)算原理都可以通過前面所學(xué)的運(yùn)算過程轉(zhuǎn)化得出。因此，教師應(yīng)有意識(shí)地引領(lǐng)學(xué)生探索兩者間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，感受其中的邏輯關(guān)聯(lián)。例如，在學(xué)習(xí)《小數(shù)乘法》這一小節(jié)時(shí)，給出如下算式45×5、4.5×0.5、4.5×5，引領(lǐng)學(xué)生完成上述算式計(jì)算，并分析其中的規(guī)律。對(duì)于第一式，按照整數(shù)乘法可以列豎式計(jì)算出45×5 ＝225。對(duì)于第二式，學(xué)生聯(lián)想到乘法計(jì)算中，因子縮小一定倍數(shù)則結(jié)果隨之縮小相同倍數(shù)的原理，首先將原式改寫為45×5，相當(dāng)于原式的兩個(gè)因子分別擴(kuò)大了10倍，得到乘積后再縮小100 倍可以得到結(jié)果為2.25。同理，對(duì)于第三式得出結(jié)果為22.5。通過對(duì)上述計(jì)算過程進(jìn)行探析，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)小數(shù)乘法運(yùn)算的原理在于將小數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)，此時(shí)運(yùn)算也轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法，最后再對(duì)結(jié)果縮小一定倍數(shù)即可得到正確結(jié)果。對(duì)小數(shù)乘法與整數(shù)乘法之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系進(jìn)行探究，能夠使學(xué)生深入理解兩者的結(jié)構(gòu)關(guān)系，感受到轉(zhuǎn)化思想在推導(dǎo)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)運(yùn)算原理中的重要作用，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，建立相關(guān)邏輯框架有著十分積極的作用。

（二）有序性，比較本質(zhì)異同

轉(zhuǎn)化思想培養(yǎng)的有序性主要體現(xiàn)在學(xué)習(xí)的先后順序。在小學(xué)階段的數(shù)與代數(shù)運(yùn)算學(xué)習(xí)內(nèi)容中，不同知識(shí)點(diǎn)之間存在清晰的遞進(jìn)關(guān)聯(lián)，需要在掌握前面知識(shí)的基礎(chǔ)上才能推導(dǎo)轉(zhuǎn)化為新知內(nèi)容。因此，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生感受利用已有方法轉(zhuǎn)化得到新知的過程，比較其間的本質(zhì)異同，提升學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化思想的感性理解。

例如，對(duì)于加減法運(yùn)算的教學(xué)過程，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧在小學(xué)低年級(jí)階段所學(xué)的關(guān)于加減法的運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)其按照如下順序展開：10 以內(nèi)的加減法、20 以內(nèi)的加減法、100 以內(nèi)的加減法、小數(shù)/分?jǐn)?shù)加減法。通過深入分析可以將其分為三個(gè)階段；第一階段學(xué)習(xí)10 以內(nèi)的加減法，理解加和減的概念；第二階段學(xué)習(xí)20以內(nèi)的加減法，掌握進(jìn)位和退位的概念；第三階段是將滿十進(jìn)位和破十退位轉(zhuǎn)化到更高位以及小數(shù)、分?jǐn)?shù)位進(jìn)行運(yùn)算。在這一學(xué)習(xí)過程中非常直觀地體現(xiàn)出了數(shù)與代數(shù)運(yùn)算學(xué)習(xí)的有序性，前面的知識(shí)學(xué)習(xí)為后面的內(nèi)容打下基礎(chǔ)，在已有認(rèn)知的前提下對(duì)其進(jìn)行數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換從而得到新的運(yùn)算方法。學(xué)生在回顧曾經(jīng)的學(xué)習(xí)歷程時(shí)可以清晰地感受到轉(zhuǎn)化思想在有序?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)中起到的重要作用。強(qiáng)化學(xué)生在實(shí)際學(xué)習(xí)過程中應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想的能力，對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的培養(yǎng)提升以及知識(shí)體系的有序建構(gòu)有著重要的意義。

二、基于課堂實(shí)踐，談培養(yǎng)轉(zhuǎn)化思想的途徑

課堂實(shí)踐和教材內(nèi)容講解是培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化思想的基本陣地，教師應(yīng)重視教材內(nèi)容的挖掘以及課堂教學(xué)的延伸，優(yōu)化課堂教學(xué)中滲透培養(yǎng)轉(zhuǎn)化思想的途徑，通過學(xué)史引入、問題解決以及過程反思等教學(xué)途徑實(shí)現(xiàn)學(xué)生心理的調(diào)動(dòng)和情境的遷移復(fù)用，促進(jìn)學(xué)生轉(zhuǎn)化思想的提升。

（一）融入數(shù)學(xué)史知識(shí)，調(diào)動(dòng)積極心理

教材是課堂教學(xué)的主體內(nèi)容，但是在教材靜態(tài)內(nèi)容中涉及數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)容較少，往往是靜態(tài)的課例。這就要求教師在基于教材內(nèi)容設(shè)計(jì)課堂教學(xué)活動(dòng)時(shí)深入挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)所隱含的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方案，通過引入相關(guān)數(shù)學(xué)史，提高學(xué)生學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化思想的心理積極性。

數(shù)學(xué)史知識(shí)的引入可以有效地活躍課堂氣氛，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極心理，提升學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中感受轉(zhuǎn)化思想的效率。例如，在學(xué)習(xí)《小數(shù)的意義和性質(zhì)》這一小節(jié)時(shí)，應(yīng)通過小數(shù)的學(xué)習(xí)讓學(xué)生理解從整數(shù)遷移到小數(shù)的轉(zhuǎn)化過程。為了提升學(xué)生的積極性，首先引入關(guān)于小數(shù)產(chǎn)生過程的數(shù)學(xué)史。我國是最早提出小數(shù)并使用小數(shù)進(jìn)行表示的國家，如，公元3 世紀(jì)初數(shù)學(xué)家劉徽就提出了把整數(shù)個(gè)位以下無法標(biāo)出名稱的部分稱為微數(shù)，公元13 世紀(jì)元代數(shù)學(xué)家朱世杰提出了小數(shù)的名稱，之后元朝劉瑾提出了將小數(shù)位降低一行進(jìn)行表示的書寫方法……通過數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)小數(shù)的起源有了深刻的認(rèn)識(shí)，也能夠積極地參與到小數(shù)學(xué)習(xí)中，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)史內(nèi)容的轉(zhuǎn)化，學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)中小數(shù)的表示方法和意義。將知識(shí)教學(xué)與數(shù)學(xué)史教學(xué)相融合，不僅可以有效地提升學(xué)生在課堂中學(xué)習(xí)小數(shù)知識(shí)的積極性，同時(shí)能夠豐富學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備，促進(jìn)學(xué)生深度挖掘知識(shí)點(diǎn)中蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化思想，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的形成。

（二）結(jié)合具體問題，尋求最優(yōu)解法

數(shù)學(xué)思想的滲透是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，需要經(jīng)歷實(shí)際問題解決的過程才能深刻地掌握。教師應(yīng)遵循這一客觀教學(xué)規(guī)律，為學(xué)生提供有關(guān)數(shù)與代數(shù)和轉(zhuǎn)化思想的具體問題，結(jié)合實(shí)際問題引領(lǐng)學(xué)生的思維方向，讓學(xué)生在實(shí)踐中尋求最優(yōu)解法，感受轉(zhuǎn)化思想對(duì)于問題解決的重要作用。

結(jié)合實(shí)際問題的最優(yōu)解法探究可以有效地凸顯轉(zhuǎn)化思想方法的意義，鼓勵(lì)學(xué)生深度認(rèn)知知識(shí)間的緊密聯(lián)系。例如，在學(xué)習(xí)《分?jǐn)?shù)的應(yīng)用》這一部分內(nèi)容時(shí)，出示題目——A、B 兩人共有故事卡片40 張，假設(shè)A 借給B 五張卡片，此時(shí)A 擁有卡片數(shù)目的1/2 恰好與B 擁有卡片數(shù)目的1/6 相等，問A 和B 兩人原來分別有多少張卡片？在原描述中的1/2 和1/6 間接的給出了兩者數(shù)量的比例關(guān)系，引領(lǐng)學(xué)生對(duì)其進(jìn)行轉(zhuǎn)化可以得出兩者卡片數(shù)量的直接關(guān)系為1∶3，然后將總數(shù)40 分為4 份，就可以得出A 此時(shí)擁有的卡片數(shù)量是10 張，B 有30 張，再用A此時(shí)的數(shù)量加上5 就可以得出A原來擁有的卡片數(shù)量是15 張。對(duì)于原本比較復(fù)雜的以分?jǐn)?shù)形式表達(dá)的數(shù)量關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化，得到一種比較簡單的按比分配的數(shù)量關(guān)系，大大降低了問題的求解難度，為學(xué)生提供了一種利用轉(zhuǎn)化思想尋找問題最優(yōu)解的方法，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想有著積極的意義。

（三）反思過程信息，遷移情境類型

教學(xué)反思是提升教師教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生的作業(yè)反饋對(duì)課堂的教學(xué)進(jìn)行深度反思，從教學(xué)目標(biāo)合理性、教學(xué)方案的恰當(dāng)性以及學(xué)生數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的培育能力等方面分析教學(xué)活動(dòng)過程信息，改善落實(shí)轉(zhuǎn)化思想滲透的教學(xué)設(shè)計(jì)，深化學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，促使學(xué)生掌握遷移類比應(yīng)用能力［2］。

轉(zhuǎn)化思想的教學(xué)效果在課后作業(yè)以及課堂表現(xiàn)中都會(huì)有直接的體現(xiàn)，教師應(yīng)善于捕獲這些細(xì)節(jié)，從而有針對(duì)性地實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想的教授。例如，在教學(xué)《因數(shù)與倍數(shù)》這一小節(jié)時(shí)，通過教師的講解學(xué)生可以初步掌握最大公因數(shù)的求解方法，但是在教學(xué)反饋中發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于該方法在實(shí)際問題中的遷移復(fù)用存在無法迅速建立模型的情況。例如對(duì)于問題——有三個(gè)班級(jí)分別有24、36和42 人，現(xiàn)對(duì)其按照相等數(shù)量各自進(jìn)行分組，問最大每組幾人，各班分別分成幾組？教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題意進(jìn)行轉(zhuǎn)換，實(shí)際上按照相等數(shù)量分組的數(shù)學(xué)意義就是求解各班級(jí)人數(shù)的公因數(shù)，根據(jù)這一提示，學(xué)生們通過列豎式計(jì)算得到三數(shù)的最大公因數(shù)為2×3＝6（人），分別得到了4、6、7組。及時(shí)地捕獲學(xué)生在學(xué)習(xí)和應(yīng)用過程中的反饋信息，并結(jié)合反饋信息有針對(duì)性地強(qiáng)化講解，對(duì)于提高課堂的教學(xué)效率，加深學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化思想的理解有著重要的作用。

三、聚焦課程標(biāo)準(zhǔn)，談培養(yǎng)轉(zhuǎn)化思想的策略

認(rèn)知發(fā)展理念下的轉(zhuǎn)化思想培育應(yīng)充分結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)需求，通過多元數(shù)學(xué)思想的融合，提升課堂學(xué)習(xí)的效率，促使學(xué)生在感悟數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的同時(shí)實(shí)現(xiàn)知識(shí)體系的建構(gòu)、空間觀念的發(fā)展等課程標(biāo)準(zhǔn)要求，促進(jìn)學(xué)生的全面綜合發(fā)展。

（一）聯(lián)想想象，建構(gòu)知識(shí)體系

聯(lián)想想象是轉(zhuǎn)化思維的基礎(chǔ)，需要學(xué)生在對(duì)原有知識(shí)具有深刻認(rèn)知的基礎(chǔ)上將其發(fā)展遷移到新的問題情境下形成新知。聯(lián)想思維的強(qiáng)弱對(duì)于學(xué)生轉(zhuǎn)化思想的培育有著決定性作用，教師應(yīng)及時(shí)地引領(lǐng)學(xué)生對(duì)專題內(nèi)容開展梳理歸納，實(shí)現(xiàn)零散知識(shí)的串聯(lián)，促進(jìn)學(xué)生建立知識(shí)體系，從而更靈動(dòng)地發(fā)揮聯(lián)想能力。

從多維度建構(gòu)有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想之間的內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián)，提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問題的能力。例如，在教學(xué)《分?jǐn)?shù)乘法》這一小節(jié)時(shí)，要想讓學(xué)生理解分?jǐn)?shù)乘法的實(shí)際意義和計(jì)算方法，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想回顧分?jǐn)?shù)的性質(zhì)以及乘法運(yùn)算的過程。首先，通過回顧分?jǐn)?shù)的概念同學(xué)們聯(lián)想到分?jǐn)?shù)乘法可以看作對(duì)一個(gè)已經(jīng)是整體一部分的內(nèi)容再次進(jìn)行分割，并將其看作被分割的整體。根據(jù)這一理解再聯(lián)想到整數(shù)乘分?jǐn)?shù)的過程可以得到分?jǐn)?shù)乘法的運(yùn)算過程。例如對(duì)于算式2/3×4/5 可以理解為將2/3 分解為5 份然后取其中的4 份，也就是2/3×4/5 ＝2×4/3×5 ＝8/15，從而建立分?jǐn)?shù)運(yùn)算與分?jǐn)?shù)性質(zhì)和已有乘法運(yùn)算的邏輯關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)體系的建構(gòu)。教師有意識(shí)地引領(lǐng)學(xué)生發(fā)揮聯(lián)想想象能力，鼓勵(lì)學(xué)生將已有知識(shí)的理解遷移轉(zhuǎn)化到新知學(xué)習(xí)的過程中，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)體系的多維度建構(gòu)以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用學(xué)習(xí)。這一教學(xué)過程充分利用了數(shù)學(xué)思想方法之間的相互促進(jìn)作用，切實(shí)地提升了學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想等綜合素養(yǎng)。

（二）動(dòng)手操作，發(fā)展空間觀念

數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)是一種內(nèi)化的過程。在這個(gè)過程中，教師務(wù)必充分重視學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識(shí)，促使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)有清晰的認(rèn)識(shí)。數(shù)形結(jié)合思想是轉(zhuǎn)化思想的一種，對(duì)于數(shù)與代數(shù)的簡化運(yùn)算和問題快速理解起著至關(guān)重要的作用，教師應(yīng)設(shè)計(jì)課堂操作活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生在操作中實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，發(fā)展空間觀念。

植樹問題作為小學(xué)數(shù)學(xué)中一類重要的應(yīng)用型問題，需要學(xué)生充分利用數(shù)形結(jié)合的方法，將文字表述轉(zhuǎn)化為圖形直觀地分析不同條件下植樹的策略。例如問題：“在全長100m 的小路一邊每隔5m 種一棵樹，且要求兩端都要有，那么需要多少棵樹苗？”對(duì)于這一問題，引領(lǐng)學(xué)生將上述描述中的數(shù)據(jù)進(jìn)行等比例縮小，100m 可以轉(zhuǎn)化為10cm，間隔5m可以給其轉(zhuǎn)化擴(kuò)大為間隔2cm，然后在紙上繪制出在這一條件下的植樹圖形，從而形成一種簡化的植樹模型，在腦海中形成相關(guān)的空間構(gòu)型。在直觀的簡化模型中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)在兩端植樹條件下棵樹＝長度÷ 間隔＋1，將題干中的數(shù)字代入即可求出總棵樹＝100÷5 ＋1 ＝21 棵。通過動(dòng)手操作，學(xué)生可以更直觀地感受數(shù)與形轉(zhuǎn)換的過程，從而快速地形成數(shù)學(xué)文字描述對(duì)應(yīng)的空間構(gòu)型，這對(duì)于提升學(xué)生的數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化能力以及空間觀念都有著積極的作用。

綜上所述，轉(zhuǎn)化思想在小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)與代數(shù)相關(guān)內(nèi)容中有著大量的、隱蔽的體現(xiàn)，教師應(yīng)基于認(rèn)知發(fā)展理念，引領(lǐng)學(xué)生充分地挖掘教材中轉(zhuǎn)化思想方法的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生利用已有知識(shí)儲(chǔ)備發(fā)展轉(zhuǎn)化得到新知并解決實(shí)際問題的能力，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)化應(yīng)用。