基于思維發展　挖掘習題價值

程元元

摘要：數學教學中，面對學生的錯題，應充分挖掘其中的價值，教師的點評不僅以學生的思維發展作為出發點和歸宿，還要充分研究、精心設計.本文從一道向量試題出發，展示了如何基于學生的思維發展設計教學過程和進行相應的思考.本文主要從以下幾個方面進行了思考和設計：（1） 進行同類變形，拓寬思維的廣度；（2） 適時維度上升，加深思維的深度；（3） 利用圖形語言，促進思維可視化；（4） 捕捉生長點，激發思維發散性；（5） 關注外延化，促進思維延展性.

關鍵詞：思維發展；習題教學；教學研究

習題教學是數學學習的一個重要的形式.學生完成鞏固練習之后，針對學生出現的問題，教師的有效點評尤為關鍵.高效的點評，可以完善學生的知識網絡建構，彌補學生的知識空缺，提高學生對問題認知的高度和把控度，同時還能提升學生的運算求解能力.因此，習題點評需要精心的設計，其出發點和落腳點都應該是基于學生的思維發展.基于學生思維發展的設計，能夠幫助學生啟發思考，形成良好的數學思維，激發學生的問題意識，提高學生的問題解決能力.波利亞曾經說過，我們永遠不能研究透徹一道題目.所以，教師需要充分研究數學問題，尤其是要將學生出現的問題進行有機的整合，探尋其內在邏輯，從試題的源與流出發，幫助學生厘清脈絡，完善知識結構，讓學生不斷突破和創新，促進學生思維的發展和能力的提升.

下面以蘇教版高一數學必修一《§6.2平面向量的運算》這一節的作業講評為例，展示其習題講評的設計和相關的思考.

學生當前的學習狀態是認識了向量這一數學元素并研究了向量的四種運算（加法、減法、數乘、數量積），關于平面向量基本定理和向量的應用還沒有涉及.

1進行同類變形，拓寬思維的廣度

2適時維度上升，加深思維的深度

3利用圖形語言，促進思維可視化

可視化現在越來越受到各個領域的青睞.思維可視化是指運用一系列圖示技術把本來不可視的思維（思考的方法和路徑）呈現出來（如表1），使其清晰可見.在思維的促進方面，可視化可以助力學生的深度學習和思考，有利于學生的理解和記憶.

在完成上述問題的思考和探究之后，引導學生從圖形的角度重新審視上述問題及其結論.

4捕捉生長點，激發思維發散性

一個問題的研究，類似于一顆樹木的生長，永不會停止.思維的生長亦是如此.培養學生思維的發散性，有利于學生多角度地看待和分析問題.對于直線BC上的任意一點D，AD都可以用AB和AC線性表示，并且系數和為1.同時，對于點D的不同位置，對應的代數表示形式是唯一的.那么，直線BC又被點B和點C分為三部分：① 線段BC上；② 線段BC的延長線上；③ 線段CB的延長線上.當點D分別位于直線BC上的不同位置時，我們猜想對應的系數λ和μ也會不同，是否可以一探究竟呢？

【思維拓展6】根據已有的研究結果，當點D分別位于①線段BC上；②線段BC的延長線上；③線段CB的延長線上時，代數表達形式AD=λAB+μAC中的系數λ和μ有什么取值規律？

對于以上三種情況，學生已經有了①和②兩種情況的經驗積累，只需舉一個當點D位于線段CB的延長線上例子即可.研究過程與其它情況類似，于是可以總結如表2所示的規律.

對于點D的不同位置，在線性表示中對應的系數λ和μ的取值則會有不同的體現.在教學中也可以引導學生從幾何作圖的角度理解這里系數正負的變化.以圖形的轉化促進學生思維的直觀化，幫助學生更加清晰地認識這種對應關系.

從不同的角度、方向和途徑去審視，探求多種設想和答案，可以充分發揮學生的想象力，突破學生原有的知識圈.不依常規，尋求變異.這種思維活動應該在平常的教學活動中有意識的設計和引導.

5關注外延化，促進思維延伸性

在變化中尋找不變的東西，在數學研究中是一種常見的形態.對于動態問題的研究，尋找規律性和不變量是一種良好的思考角度.例如，后續解析幾何中的定點、定值問題，毆拉多面體公式V+F-E=2（拓撲不變量）等等.這類問題的設計可以引導學生善于觀察已有的數學形態，培養學生觀察和總結的數學習慣和數學思維方式.

教師應調動學生的好奇心，激發求知欲，促進思維的發散性.此時，正是引導學生設疑置問的最佳時機.如果系數和不是“1”而是其他的常數，比如“2”呢？思維拓展7應運而生.

學生就有一種想要一探究竟的渴望，在學生的疑惑點上巧設問題，想學生所想，答學生所惑，是教師設問的最佳境界.

由于課堂時間的約束，也囿于班級學生的課堂反映程度，這個問題的解決可以依教學實際而定.時間和學生接受能力允許的話，可以在課堂內完成，否則可以作為課后思考探究問題.

這其實就是“等和線”的問題.這個問題在引導學生處理的時候，可以把系數和不是“1”的情況轉換為系數和為“1”的情況進行解決，化難為易，在這里可以給學生滲透把不熟悉的問題轉化為熟悉的問題是解決問題的常規思路.具體解決過程此處不再贅述.同樣也可以用圖形語言幫助學生實現思維的直觀化.事實上，當λ+μ=2時，對應的點D所在的位置在一條直線上，并且該直線與直線BC平行且在直線BC的外側（遠離點A）；當λ+μ=1/2時，對應的點D所在的位置也在一條直線上，并且該直線與直線BC平行且在直線BC的內側（靠近點A）.與如圖2所示.

在此基礎上，甚至可以繼續引導學生去猜想和研究，當λ+μ=a（a為非零常數）時，隨著常數a的變化，點D的軌跡直線又會產生怎樣的變化.

于是，思維拓展可以繼續……再繼續……

正如前文所述，學生的思維發展就像一棵茂密的大樹，生長可以橫向，也可以縱向，可以交叉，也可以平行，可以在思維發展的過程中繼續探尋思維的生長點，再產生新的枝丫，也可以流向更加廣闊的未知空間，促進思維的延展性.所以教師的教學設計的起點和歸宿都應該是學生思維的發展，并且具有可延伸性.一個問題的講解設計應充分挖掘該問題的源與流，探尋源頭，落實當下，期待流向.參考文獻：

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