單元背景下高中數學公式教學的研究

王宗艷

［摘? 要］ 雖然數學公式蘊藏著豐富的教學資源，但有些教師只注重公式的結構與應用，淡化了公式的推導過程，導致學生思維缺失. 為了打破這一現象，研究者對單元背景下的高中數學公式教學進行了研究，并以“兩角差的余弦公式”的教學為例，從以下五方面展開分析：創設情境，引入研究主題；聯想啟思，探尋解決辦法；問題驅動，嚴謹論證猜想；實際應用，深化理解程度；總結反思，實現內化遷移.

［關鍵詞］ 數學公式；單元整體；公式教學

數學公式反映了數學對象屬性間的聯系，公式教學的影響不僅體現在學生“四基”與“四能”的發展上，還體現在學生對知識的理解、遷移、探究上以及學生創新意識的培養上. 在實際公式教學中，有些教師存在“重應用，輕過程”的行為，導致學生無法真正領悟公式的本質，應用時難免漏洞百出. 基于單元背景的公式教學研究，能讓學生掌握基本知識結構，了解公式的來龍去脈，感悟其蘊含的數學思想方法，為深度學習奠定基礎. 本文以“兩角差的余弦公式”的教學為例，談單元背景下的公式教學研究.

創設情境，引入研究主題

希爾伯特認為：對數學概念、公式或方法的徹底理解是指學習者將現有的知識結構與更多、更強的知識連接融合的過程. 單元背景下的公式教學，關鍵在于讓學生明確公式的源頭、生長點、通路與網絡，明晰為什么要研究這個公式，該公式具備哪些性質等. 教師可創設一些情境作為公式研究的背景，激發學生興趣的同時，引導學生站到一定的高度審視將要學習的內容.

例如本節課教學，是在三角函數已研究的基礎上進行的，教師可在課前簡略地與學生一起回顧相關知識，提出三角恒等變化除了用于推導平方和關系式和誘導公式外，還可用于推導哪些公式的問題，以啟發學生思考，為引入研究主題奠定基礎. 同時，還可創設學生感興趣的情境，為課堂探究提供實質性的幫助.

直接套用公式屬于低階思維層次，而自主編題則將學生的思維拉伸到高階層次. 值得注意的是編題時需要學生明確公式的代換思想與本質，這是促進學生思維質變的關鍵. 吸收、存儲、提取與加工信息是人腦的基本功能，數學教學能全面地訓練學生的大腦功能. 學生在編題過程中的積極性和成效與當前所面臨的困難有很大關系，因此教師須從學生的情感、思想與最近發展區出發，準確把握學生的實際狀況，為公式的實際應用與變通做好鋪墊.

總結反思，實現內化遷移

課堂接近尾聲時的總結可完善學生對本節課所學公式的認識，加強單元背景下知識節點間的連接，讓學生對公式的內涵與涉及的數學思想方法形成完整的認識. 好的總結起到知識梳理與畫龍點睛的作用，對促進學生的反思起到了直接影響.

曾子曰：“吾日三省吾身.”反思是一種思維形式，是人腦對某個目標進行執著、嚴肅的沉思過程. 公式教學的總結反思，須引導學生將注意力聚焦于公式的研究方法與內涵上，通過回顧與分析研究過程提高思維能力. 借助反思活動，學生可自覺將課堂所學內容作為認知對象，優化學習狀態，完善認知結構，實現探究過程與結論的有效連接，讓學生學會從多角度解決問題.

在此環節中，教師設計了如下幾個問題，以促進學生總結與反思.

問題1 通過本節課的學習，大家掌握了什么公式？這個公式的研究思路與研究過程是怎樣的？

這個問題意在引導學生對兩角差的余弦公式形成的前因后果進行回顧，通過對研究思路與研究過程的梳理，讓學生反思在研究中的心路歷程，為后續研究其他公式提供方法上的指導.

問題2 請大家說說應用兩角差的余弦公式的體驗.

問題3 圓對稱性的代數形式為誘導公式，但圓存在無數條對稱軸，如直線y=tanα·x為圓對稱軸的一般形式，據此是否可推導出更一般的誘導公式？

問題4 三角恒等變換涵蓋了角與名稱的變換，能否將兩角差的余弦公式從這兩個角度進行思考并變換，從而推導出新的公式？

幾個層次分明的問題，意在引導學生對本節課所涉及的活動經驗與數學思想做一個反思與總結. 問題3著重引導學生從形的角度基于單元背景來分析特殊與一般的關系，問題4的解決顯然是建立知識間聯系的過程，也是促進學生遷移知識的過程.

新知建構在舊知的基礎上，這對知識遷移提出了較高要求. 知識遷移從本質上來說屬于一個心理變化過程，正遷移不僅能促進學生的思維發展，還能幫助學生形成可持續學習和發展的能力；而負遷移則嚴重阻礙學生在學業上的發展.

新知學習時，學生常從感官系統出發通過感知誘發聯想，回憶起相關舊知，待思維處于活躍狀態時，則成功將新知與舊知融于一體，建構成新的認知體系. 因此，在課堂結束時，教師應注重知識的回顧與梳理，發揮知識的正遷移功能，避免負遷移的發生.

總之，公式教學不僅是發展“四基”與“四能”的關鍵，還擔負著育人功能，對學生的成長具有重要影響. 單元背景下的公式教學，能讓學生從宏觀角度認識公式的本質，能為學生靈活應用公式夯實基礎.