解析幾何中“僧多粥少”時的解題策略
——以一道解析幾何試題釋疑引申

姜則善

(北京市第二中學)

1 試題呈現

(1)求橢圓E的方程;

(2)設斜率為k的直線l與x軸交于點P,與橢圓E交于不同的兩點M,N,點M關于y軸的對稱點為M′,直線M′N與y軸交于點Q.若△OPQ的面積為2,求k的值.

2 試題解讀

本題第(2)問的解決方法不止一個,但學生采用的基本都是中規中矩的方法,即由于涉及直線l與橢圓E交于不同的兩點M,N,故假設直線l的方程為y＝kx＋m,將直線l的方程與橢圓方程聯立,利用題中的幾何關系,分別求出點P和點Q的坐標,用這兩點的坐標表示出△OPQ的面積,再結合根與系數的關系,建立一個關于未知數k的方程,然后求解k的值.但筆者發現很多同學都是計算出錯,并且在解題前的構思階段,一個問題縈繞在他們的腦海中:由于假設直線l的方程時用到了兩個參數,即k與m,而題目中給出的條件只能建立一個方程,此時未知數個數比方程個數多,出現了“僧多粥少”的情況,如何能求解出k的值? 計算出錯后學生就認為自己的方法不得當,直接放棄思考,轉戰其他題.

通常情況下,我們利用方程解決幾何問題時,碰到的都是解方程,但有時會出現未知數個數比方程個數多的情況,一般會有哪些解決方法呢?

3 解決問題

當未知數個數多于方程個數時,我們通常會用到以下解決方法.

3.1 消去減元，轉化可解

在具有強大的計算功底的前提下,一般在計算過程中發現兩個未知數會消去一個,轉化為一元方程,從而使未知數可以求解.下面以上述題目第(2)問為例,闡述該題的求解過程.

3.2 巧定主元，因式分解

解題過程中會不會遇到有兩個未知數、一個方程,且未知數都被保留的情況呢? 答案是肯定的,我們來看下列試題.

例1已知橢圓過點P(2,1).

(1)求橢圓C的方程,并求其離心率e;

(2)過點P作x軸的垂線l,設點A為第四象限內一點且在橢圓C上(點A不在直線l上),點A關于l的對稱點為A′,直線A′P與C交于另一點B.設O為原點,判斷直線AB與直線OP的位置關系,并說明理由.

(2)求解的關鍵在于將“點A關于l的對稱點為A′”這個條件轉化為kPA＋kPA′＝0.即有的答案給出的方法是設直線PA的方程為y－1＝k(x－2),與橢圓方程聯立后解出點A的坐標,然后將k換成－k后得到點B的坐標,從而求出直線AB的斜率.該解法的優點在于只用到了一個未知數k,然后求得kAB與k無關,從而解決問題.而在實際教學中,我們發現有一部分學生是如此設計解題思路:由于研究的是直線AB的斜率,所以假設直線AB為y＝kx＋m,將其與橢圓方程聯立,然后用P,A,A′三個點的坐標表示條件kPA＋kPA′＝0,從而得到一個方程,于是又出現涉及兩個未知數k與m,但是只有一個方程kPA＋kPA′＝0的情況,那會不會又是m被消去的情況呢,我們來看看這種解法的過程.

此時,如果學生有較強的因式分解功底,就能很自然地看出來可以采用定主元的方法對左邊二元二次式進行因式分解,可以得到兩種分解方法.

方法2將m設為主元,整理為方程(2k－1)m＋(2k－1)2＝0,下同方法1.

點評

以上解題過程中采用的定主元方法在2022年北京卷第20題的第(3)問中也有所涉及,所以這種方法可以在高三解析幾何復習中適當重視.

3.3 無窮個解，系數為0

除了上述涉及兩個未知數,而只有一個方程的情況外,我們還會碰到以下未知數更多的情形.

例2已知橢圓C的短軸的兩個端點分別為A(0,1),B(0,－1),離心率為

(1)求橢圓C的方程及焦點的坐標;

(2)若點M為橢圓C上異于A,B的任意一點,過原點且與直線MA平行的直線與直線y＝3交于點P,直線MB與直線y＝3 交于點Q,試判斷以線段PQ為直徑的圓是否過定點? 若過定點,求出定點的坐標;若不過定點,請說明理由.

(2)常見的設計思路如下:設定點為G(m,n),動點M(x0,y0),此時有四個未知數,而我們的方程有

還缺少兩個方程才能求解出定點G的坐標,著實是“僧多粥少”,而且少兩碗,如何求解呢? 以下給出完整的求解過程.

這是一個含四個未知數的方程,如何求解m,n的值呢? 其實我們注意到在這個方程的四個未知數中,如果m,n被我們視為參數,則這個方程可以看成在某種條件下是關于x0,y0的二元一次方程,其圖像是一條直線,仍然無法解出m,n的值.此時我們需要做的就是重新審題,自然會發現點M為橢圓C上異于A,B的任意一點,而不是某條直線上的任意一點,所以對于方程[(n－3)2＋m2－36]x0＋21my0－3m＝0來說,只有系數均為零,才能使得方程恒成立,則

點評

這種情形的突破口在于M為橢圓C上任意一點,如果得到的是關于點M的橫坐標x0與縱坐標y0的二元一次方程時,由于點M在橢圓上而不是在某條直線上,故只有系數均為零時才能使得等式恒成立;如果得到的是關于M的橫坐標x0或縱坐標y0的一元二次方程時,由于點M的任意性使得一元二次方程的解有無窮個,所以也只有在系數均為零時才能成立,下面給出另一道解析幾何試題,即最后轉化為一元二次方程的情形.

(2)若點A為橢圓上任意一個點,點A關于y軸的對稱點為B;PA,PB分別與y軸交于點M,N,且MF1⊥NF2,求橢圓C的方程.

此時有四個未知數,只有一個方程,如何求解橢圓方程中的a,b呢? 我們可以把這個方程看作是一個關于x0的一元二次方程,最多有兩個不同的解,而由于A為橢圓上任意一個點,也就是說這個關于x0的方程有無數個解,故只有當此方程系數全部為0時才滿足題意,再結合題干中給出的信息,可得

此時戲劇性的一幕出現了,三個未知數,四個方程,“粥比僧多”.由第2個方程可得b＝c,此時我們發現第1個和第3個方程相同,經過求解我們得到橢圓C的方程為

解析幾何主要是用代數的方法研究幾何問題,其中代數的方法指的就是通過方程來研究,所以解方程的技能起著至關重要的作用,當未知數個數多于方程個數時可能出現本文所述的三種情形,如果在復習中加以訓練,可以提高高三解析幾何復習的效果,對提升學生的數學核心素養大有裨益.

(完)