利用放縮法求解導數中不等式問題

韓景鳳

(山東省鄒城市第二中學)

許多導數問題涉及不等式證明,此類問題除了將之轉化為函數問題利用導數解決外,靈活運用放縮法也能降低題目的難度.本文通過幾道例題,介紹利用放縮法解決導數不等式證明問題,供讀者參考.

1 用分式變形放縮

2 用基本不等式放縮

3 對參數賦值放縮

點評

在本題中,利用y＝lnx的單調性,將“當m≤2時,證明f(x)＞0”轉化為“當m＝2時,證明f(x)＞0”,這樣做既消去了參數,又降低了題目的難度,這是解決多參數問題的一種重要解題思路.

4 用經典不等式放縮

例4已知函數f(x)＝aex－lnx－1,當時,證明:f(x)≥0.

解析

要證明f(x)≥0 恒成立,即證明f(x)＝aex－lnx－1≥0,由于所以只需證ex－1≥lnx＋1＝ln(ex),即證

構造函數h(x)＝xex,則h′(x)＝ex(x＋1)＞0對任意x∈(0,＋∞)恒成立,所以h(x)在(0,＋∞)上是增函數,于是h(x)＞h(0)＝0.下面只需證明x≥ln(ex)＝lnx＋1恒成立,即lnx≤x－1.而此式是可用導數證明的特殊不等式,所以f(x)≥0.

點評

在運用導數證明不等式問題時,利用一些經典恒不等式(如lnx≤x－1,ex≥x＋1)有時可起到事半功倍的作用,但在嚴格證明問題時,需要注意對這些不等式進行適當推導或證明.

5 構造新函數放縮

點評

在本題中,待證的結論與自然數相關,所以構造一個與此相關的函數,并判斷此函數的相關性質,其中恰當地構造函數是順利解題的關鍵.

6 用添項或減項放縮

當且僅當x＝0時,等號成立,所以h′(x)在[0,＋∞)上為增函數,于是h′(x)≥h′(0)＝0,所以h(x)在[0,＋∞)上為增函數,故有h(x)≥h(0)＝0,所以當x≥0時,f(x)≤g(x).

點評

由于本題需要證明的不等式比較復雜,所以直接采用作差法很難達到目的.此解法在運用一個經典不等式的基礎上,采用了添項放縮處理,成功地簡化了待證的不等式,值得注意的是所添的項要保證不等號方向一致,并且取等號條件一致.

(完)