雙變量問題的身份識(shí)別及破解策略

吳志鋒

(廣東省佛山市順德區(qū)青云中學(xué))

雙變量函數(shù)不等式問題是近年高考或模擬考試中的常見題型,常以壓軸題的形式出現(xiàn).處理此類問題的關(guān)鍵是消元,由于雙變量的類型不同,消元方法也不同.通過對(duì)近年高考試題及模擬試題的分析,不難發(fā)現(xiàn)雙變量的類型主要有三類,下面舉例分析.

1 兩個(gè)變量沒有限制條件

兩個(gè)變量沒有限制條件是指題目中所給的兩個(gè)變量為函數(shù)定義域中任意兩個(gè)變量,二者地位等價(jià).處理此類問題時(shí)可將其中一個(gè)變量視為主元,構(gòu)造關(guān)于主元的函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)解決問題.

2 兩個(gè)變量為函數(shù)的零點(diǎn)

3 兩個(gè)變量為函數(shù)的極值點(diǎn)

對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)來說,極值點(diǎn)即導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),即兩個(gè)變量為導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn),f′(x1)＝f′(x2)＝0.此類問題,除了可利用作差、作商消元外,若導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù),也可利用根與系數(shù)的關(guān)系消元.

點(diǎn)評(píng)

本題中的雙變量為導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn),求導(dǎo)后可知導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),即為二次函數(shù)的零點(diǎn),故雙變量為二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn),即一元二次方程的兩根,進(jìn)而利用根與系數(shù)的關(guān)系找到兩個(gè)變量之間的關(guān)系,從而將一個(gè)變量用另一個(gè)變量表示.此類問題也可利用對(duì)數(shù)均值不等式求解.

(完)