利用奇函數的一個性質巧解一類二元求值問題

林國紅

(廣東省佛山市樂從中學)

函數的奇偶性是函數的重要性質,是解決一些函數問題的有力工具.有些問題從表面上看似乎與函數無關,但如果我們從題設所給出的式子的結構特征入手,站在函數的角度審視問題并抓住問題的本質構造函數,運用函數的性質(單調性、奇偶性等)來處理,有時會起到“柳暗花明又一村”的解題效果.本文著重介紹單調奇函數的一個重要性質及其在解題中的妙用,供讀者參考.

1 兩個引例

引例1(2023年全國高中數學聯賽內蒙古預賽第2題)已知x,y∈R,且滿足

引例2(2023年全國高中數學聯賽北京預賽第6題)已知x,y∈R,且滿足

兩個引例的條件都是方程形式,引例1是無理方程,引例2是三次方程,通過解方程的方法直接求解相應的x,y較為困難.

兩個方程等號的左邊可以記為t3＋2023t的形式,等號的右邊是互為相反數的兩個數.

可見兩個引例的已知條件、所求結果的形式相似,猜想這兩個引例應該有相似(或統一)的解法.

2 奇函數的一個性質

事實上,單調的奇函數有一個簡單且重要的性質.

性質已知函數f(x)是區間D上的單調奇函數,m,n∈D,若f(m)＋f(n)＝0,則m＋n＝0.

簡證因為函數f(x)是區間D上的單調奇函數,所以f(x)不恒等于0.

由f(m)＋f(n)＝0,得f(m)＝－f(n)＝f(－n),故m＝－n,所以m＋n＝0.

3 引例的解析

下面我們應用單調奇函數的性質解答引例.

根據題意,有

所以由性質可得x＋1＋y＋1＝0,即x＋y＝－2.

引例2的解析由

所以f(t)是奇函數.因為f′(t)＝3t2＋2023＞0,所以f(t)在R上單調遞增.

根據題意,有f(x－1)＋f(y＋2)＝－1＋1＝0,所以由性質可得x－1＋y＋2＝0,即x＋y＝－1.

4 性質的應用舉例

以上述單調奇函數的性質為背景的試題在各類考試中多次出現,特別是在競賽中尤為常見,下面分類展示該性質的運用.

4.1 直接應用型

例1(2003年全國高中數學聯賽湖南預賽第7題)已知x,y∈R,且滿足

解析

設f(t)＝t2003＋2002t(t∈R),則

所以f(t)是奇函數.因為f′(t)＝2003t2002＋2002＞0,所以f(t)在R上單調遞增.

根據題意,有f(x－1)＋f(y－2)＝0,所以由性質可得x－1＋y－2＝0,即x＋y＝3.

例2(2015年全國高中數學聯賽新疆預賽第4題)已知x,y∈R,且滿足

解析

設f(t)＝t3＋2015t(t∈R),則

所以f(t)是奇函數.因為f′(t)＝3t2＋2015＞0,所以f(t)在R上單調遞增.

根據題意,有f(x－1)＋f(y－1)＝0,所以由性質可得x－1＋y－1＝0,即x＋y＝2.

點評

本類問題中的兩個已知等式在結構上相似,運用整體思想,直接構造相應的奇函數,并應用奇函數的性質進行解答.

4.2 變形應用型

例3(2008 年全國高中數學聯賽湖南預賽A卷第8 題)設函數f(x)＝x3＋3x2＋6x＋14,且f(a)＝1,f(b)＝19,則a＋b＝__________.

解析

由

則

所以g(t)是奇函數.因為g′(t)＝3t2＋3＞0,所以g(t)在R上單調遞增.

根據題意,有g(a＋1)＋g(b＋1)＝0,所以由性質可得a＋1＋b＋1＝0,即a＋b＝－2.

例4(2016年全國高中數學聯賽山東預賽第9題)已知α,β滿足

所以f(t)是奇函數.因為f′(t)＝3t2＋2＞0,所以f(t)在R上單調遞增.

根據題意,有f(α－1)＋f(β－1)＝0,所以由性質可得α－1＋β－1＝0,即α＋β＝2.

點評

本類問題不能直接運用奇函數的性質解答,需要根據題目的條件作適當變形,將兩個等式變為相似結構,再構造相應的奇函數進行解答.例6只有一個等式,與其他例子的已知條件不同,但根據已知等式的結構特點,巧妙構造單調奇函數,再利用性質求得結果,思路新穎,過程簡潔.

4.3 換元應用型

點評

本類問題的兩個等式只是部分相似(一般是等號的其中一邊相似),一般的變形并不能將兩個等式變為相似結構,需要有換元意識,恰當地換元能將兩個等式變為相似結構,然后構造相應的奇函數進行解答即可.

5 小結

奇函數有很多簡潔、優美的性質,且這些性質有著廣泛的應用.在解題中,有時遇到的問題并不是奇函數問題,但若仔細觀察式子的結構特征,可能會發現其與奇函數有著密切的聯系,因而把表面上看似與函數無關的問題通過變形轉化為函數問題,然后利用奇函數的性質解答,這樣可以優化解題過程.另外,運用函數的觀點來求解問題,有利于培養學生用動態發展的觀點來分析問題,抓住問題的本質,并提高解決問題的能力.

(完)