以“極值點(diǎn)偏移”為命題背景的導(dǎo)數(shù)綜合題的解題策略

李 波

(四川省南充高級(jí)中學(xué))

極值點(diǎn)偏移是指在函數(shù)極值點(diǎn)的左右兩側(cè),由于函數(shù)值的增減速度不同,導(dǎo)致函數(shù)圖像不對(duì)稱(chēng),該類(lèi)問(wèn)題成為近幾年高考中的熱點(diǎn)問(wèn)題.經(jīng)過(guò)一輪復(fù)習(xí)以后,學(xué)生能夠處理簡(jiǎn)單的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題,如證明x1＋x2＞a,x1x2＞a(a為常數(shù))等,但針對(duì)非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)、復(fù)雜結(jié)構(gòu)、含參不等式證明等問(wèn)題時(shí),卻無(wú)從下手.為此,筆者將該類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行歸納總結(jié),與大家一起分享.

1 利用函數(shù)單調(diào)性的定義，構(gòu)造對(duì)稱(chēng)函數(shù)

例1已知函數(shù)f(x)＝x－lnx－a有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2.

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(2)求證:x1＋x2＞a＋1.

解析

(1)a∈(1,＋∞)(求解過(guò)程略).(2)不妨設(shè)x1＜x2,由(1)知,x1∈(0,1),x2∈(1,＋∞),由x1－lnx1－a＝0,得a＝x1－lnx1.

要證x1＋x2＞a＋1,則證x1＋x2＞x1－lnx1＋1,即證x2＞1－lnx1.由x1∈(0,1),知1－lnx1∈(1,＋∞),又f(x)在(1,＋∞)上單調(diào)遞增,所以要證f(x2)＝f(x1)＞f(1－lnx1).

點(diǎn)評(píng)

證明不等式x1＋x2＞a＋1的難點(diǎn)主要有以下兩點(diǎn):1)不等式中含有參數(shù)a,不易想到消參;2)證明x2＋lnx1＞1,不易想到構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－f(1－lnx)(x∈(0,1))證明x2＞1－lnx1.本題應(yīng)打破以往證明x1＋x2＞λ(λ為常數(shù))的基本套路,這要求學(xué)生既要有扎實(shí)的基本功、靈活的應(yīng)變能力,又要在通性通法的基礎(chǔ)上適當(dāng)創(chuàng)新.

2 利用同構(gòu)思想化簡(jiǎn)，構(gòu)造復(fù)合函數(shù)

3 利用函數(shù)的性質(zhì)與圖像，快速解答客觀題

點(diǎn)評(píng)

若客觀題考查極值點(diǎn)偏移問(wèn)題,可利用函數(shù)的性質(zhì)與圖像來(lái)快速求解.

4 利用對(duì)數(shù)均值不等式，巧證偏移問(wèn)題

5 反面入手去推證，得出結(jié)論有矛盾

例5已知函數(shù)

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)設(shè)a,b是兩個(gè)不相等的正數(shù),且a＋lnb＝b＋lna,證明:a＋b＋ln(ab)＞2.

解析

(1)f(x)在(－∞,0),(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,＋∞)上單調(diào)遞增(求解過(guò)程略).

點(diǎn)評(píng)

本題使用正難則反法,選擇從反面入手,把假設(shè)當(dāng)成已知條件去分析問(wèn)題,得出新的結(jié)論,并從范圍方面找到矛盾,即假設(shè)不成立.

6 變換目標(biāo)成齊次結(jié)構(gòu)，構(gòu)造過(guò)渡函數(shù)

例6已知函數(shù)f(x)＝xlnx－a(x2－1)＋x.

(1)若f(x)單調(diào)遞減,求a的取值范圍;

例7已知函數(shù)f(x)＝aex－x2－2x(a∈R).

(1)若函數(shù)g(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性;

(2)若函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x1,x2,且x1＜x2,不等式x1＋λx2＞0恒成立,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

以極值點(diǎn)偏移為背景求參數(shù)(變量)的取值范圍、不等式證明、比較大小等問(wèn)題,考查函數(shù)的性質(zhì)與圖像、指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算、函數(shù)的零點(diǎn)與極值、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算等知識(shí),考查分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法;考查運(yùn)算求解、邏輯思維、推理論證、抽象概括等能力.試題情境簡(jiǎn)單大氣,解答過(guò)程低進(jìn)高出,解答方法靈活多變,能較好地培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)與思辨能力.

(完)