抽象函數及其導函數的性質探究及應用

孫志鵬

(山東省濟南第七中學)

由于近年高考數學真題以及模擬試題中出現了一類比較新穎的數學問題,即側重考查抽象函數及其導函數性質的靈活運用,所以學生有必要認真探究有關抽象函數及其導函數的常用性質,以便在選擇題或填空題中直接運用,同時也有利于提高解題的準確性,進而提升數學核心素養.

1 性質探究

問題1已知函數f(x)是奇函數(或偶函數),試探究其導函數f′(x)的奇偶性.

探究1若f(x)是奇函數,則f(－x)＝－f(x),兩邊求導可得－f′(－x)＝－f′(x),化簡得f′(－x)＝f′(x),所以f′(x)是偶函數.

若f(x)是偶函數,則f(－x)＝f(x),兩邊求導可得－f′(－x)＝f′(x),化簡得f′(－x)＝－f′(x),所以f′(x)是奇函數.

結論1若f(x)是奇函數,則其導函數f′(x)是偶函數;若f(x)是偶函數,則其導函數f′(x)是奇函數.

問題2已知函數f(x)的圖像關于點(a,0)對稱(或關于直線x＝a對稱),試探究其導函數f′(x)圖像的對稱性.

探究2若f(x)的圖像關于點(a,0)對稱,則f(a＋x)＋f(a－x)＝0,兩邊求導可得

即f′(a＋x)＝f′(a－x),所以f′(x)的圖像關于直線x＝a對稱.

若f(x)的圖像關于直線x＝a對稱,則f(a＋x)＝f(a－x),兩邊求導得

所以f′(a＋x)＋f′(a－x)＝0,故f′(x)的圖像關于點(a,0)對稱.

結論2若f(x)的圖像關于點(a,0)對稱,則其導函數f′(x)的圖像關于直線x＝a對稱;若f(x)的圖像關于直線x＝a對稱,則其導函數f′(x)的圖像關于點(a,0)對稱.

問題3已知f′(x)是奇函數(或偶函數),試探究函數f(x)的奇偶性.

探究3若f′ (x)是奇函數,則因為[f(x)＋C]′＝f′(x)(其中C為常數),所以f(x)＋C是偶函數,則f(－x)＋C＝f(x)＋C,即f(－x)＝f(x),故函數f(x)是偶函數.

若f′(x)是偶函數,則因為[f(x)＋C]′＝f′(x)(其中C為常數),所以f(x)＋C是奇函數,故

即f(－x)＋f(x)＝－2C,所以函數f(x)的圖像關于點(0,－C)對稱,顯然只有當C＝0時,才能保證函數f(x)是奇函數,其他情況下不能得到函數f(x)是奇函數.

結論3若f′(x)是奇函數,則函數f(x)是偶函數;若f′(x)是偶函數,則函數f(x)的圖像關于點(0,t)對稱(其中t為常數),但f(x)不一定是奇函數.

問題4已知函數f′(x＋a)是奇函數,即f′(x)的圖像關于點(a,0)對稱(或函數f′(x＋a)是偶函數,即f′(x)的圖像關于直線x＝a對稱),試探究函數f(x)圖像的對稱性.

探究4若函數f′(x＋a)是奇函數,則因為[f(x＋a)＋C]′＝f′(x＋a)(其中C為常數),所以f(x＋a)＋C是偶函數,則

即f(－x＋a)＝f(x＋a),故函數f(x)的圖像關于直線x＝a對稱.

若函數f′(x＋a)是偶函數,則因為[f(x＋a)＋C]′＝f′(x＋a)(其中C為常數),所以f(x＋a)＋C是奇函數,則

即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝－2C,故函數f(x)的圖像關于點(a,－C)對稱,所以只有當C＝0時,才能保證函數f(x)的圖像關于點(a,0)對稱,其他情況下不能得到函數f(x)的圖像關于點(a,0)對稱.

結論4若f′(x)的圖像關于點(a,0)對稱,則函數f(x)的圖像關于直線x＝a對稱;若f′(x)的圖像關于直線x＝a對稱,則函數f(x)的圖像關于點(a,t)對稱(其中t為常數),但不一定關于點(a,0)對稱.

2 應用舉例

例1已知函數f(x)的定義域為R,且滿足f(x－1)為奇函數,f′(2－x)＋f′(x)＝2,f′(－1)＝2,則

A.13 B.16 C.25 D.51

解析

因為f(x－1)為奇函數,所以f(x)的圖像關于點(－1,0)對稱,故根據前述結論2 可知f′(x)的圖像關于直線x＝－1對稱.

因為f′(2－x)＋f′(x)＝2,所以f′(x)的圖像關于點(1,1)對稱.

于是,函數f′(x)是以4×|1－(－1)|＝8為周期的函數.

在f′(2－x)＋f′(x)＝2中,令x＝1,化簡可得f′(1)＝1.

在f′(2－x)＋f′(x)＝2 中,令x＝3,可得f′(－1)＋f′(3)＝2,又f′(－1)＝2,所以f′(3)＝0.

在f′(2－x)＋f′(x)＝2 中,令x＝5,可得f′(－3)＋f′(5)＝2,所以

化簡可得f′(5)＝1.

在f′(2－x)＋f′(x)＝2 中,令x＝7,可得f′(－5)＋f′(7)＝2,所以

即f′(3)＋f′(7)＝2,又f′(3)＝0,所以f′(7)＝2.

因為f′(x)是以8 為周期的函數,所以數列{f′(n)}的周期為8,故數列{f′(2n－1)}的周期為4.因此,有

點評

求解本題的關鍵在于以下兩點:一是通過分析f′(x)的周期性,可知數列{f′(2n－1)}的周期性;二是對已知等式f′(2－x)＋f′(x)＝2賦值,求得f′(1),f′(3),f′(5),f′(7)的值.

例2設定義在R上的函數f(x)和g(x)的導函數分別是f′(x)和g′(x),已知f(x)＝g(3－x)－1,f′(x＋1)＝g′(x),且f′(x)的圖像關于直線x＝1對稱,那么下述結論不一定正確的是( ).

A.f(x)＋f(2－x)＝0

B.f′(2)＝0

C.g(1－x)＝g(1＋x)

D.g′(x)＋g′(2－x)＝0

解析

因為f′(x)的圖像關于直線x＝1對稱,所以根據前述結論4可知f(x)的圖像不一定關于點(1,0)對稱,即不一定有f(x)＋f(2－x)＝0成立,故選項A 不一定正確.

因為f(x)＝g(3－x)－1,所以兩邊求導得f′(x)＝－g′(3－x),令x＝2,得f′(2)＝－g′(1).因為f′(x＋1)＝g′(x),所以令x＝1,得f′(2)＝g′(1).于是,可知f′(2)＋f′(2)＝－g′(1)＋g′(1)＝0,即f′(2)＝0,故選項B一定正確.

因為f′(x)＝－g′(3－x),所以f′(x＋1)＝－g′(2－x),又因為f′(x＋1)＝g′(x),所 以g′(x)＝－g′(2－x),即g′(x)＋g′(2－x)＝0,故選項D 一定正確.

因為g′(x)＋g′(2－x)＝0,所以g′(x)的圖像關于點(1,0)對稱,所以根據前述結論4 可知函數g(x)的圖像關于直線x＝1 對稱,即g(1－x)＝g(1＋x),故選項C一定正確.

綜上,選A.

點評

本題具有一定的難度,其中選項B,C,D 分析的切入點是對等式f(x)＝g(3－x)－1兩邊求導,使之能夠與題設條件f′(x＋1)＝g′(x)緊密聯系起來,從而幫助我們順利解決目標問題.

對抽象函數及其導函數的常用性質(主要是奇偶性、對稱性)進行深入探究,不僅能夠幫助我們厘清其中存在的“辯證”關系,而且能夠明白其中的具體緣由.顯然,理解、掌握了上述關于抽象函數及其導函數性質的常用結論,有助于迅速求解相關選擇題和填空題,既大大節約了分析、思考的時間,也避免了一些錯誤的產生,真可謂高效解題.

(完)