聚焦抽象函數及其應用探究

徐亮光

(山東省青島市西海岸新區實驗高級中學)

高中數學有一類只有某些性質沒有具體表達式的函數,我們把這類函數稱為抽象函數.抽象函數問題經常出現在各級各類考試中,破解抽象函數問題的策略很多,那么抽象函數有哪些應用呢? 本文舉例說明.

1 求函數值或解析式

一般地,我們常用賦值法求抽象函數中的函數值或解析式.對于求值問題,一般通過觀察已知關系與未知關系之間的內在聯系,巧妙賦值,建立已知條件與欲求結果之間的聯系,從而求得函數值;求函數解析式時,通常對已知等式中某些變量適當賦值,使它在關系式中“消失”,進而得到保留一個變量的函數.

解得f(t)＝cost＋2sint,則f(x)＝cosx＋2sinx,經檢驗f(x)滿足已知條件.

點評

對于抽象函數求函數值或解析式問題,當一次賦值無法解決問題時,應多次賦值解決.求解問題時應善于觀察與分析,找出賦的值與待求結果之間的關系.

2 單調性與奇偶性的判斷或證明

判斷與證明抽象函數的單調性與奇偶性,既要應用函數單調性與奇偶性的定義,又要用到賦值法,即適當賦值后應用函數的單調性與奇偶性的定義加以判斷或證明.

例2已知定義在(－∞,0)∪(0,＋∞)上的函數f(x)對于任意的a,b∈(－∞,0)∪(0,＋∞),滿足,且當x∈(0,1)時,f(x)＞0,則下列說法正確的是( ).

A.f(x)是奇函數但不是偶函數

B.f(x)是偶函數但不是奇函數

C.f(x)既是奇函數又是偶函數

D.f(x)既不是奇函數也不是偶函數

解析

函數f(x)的定義域(－∞,0)∪(0,＋∞)關于原點對稱,且對于任意的a,b∈(－∞,0)∪(0,＋∞),有,所以令b＝－a,有f(－1)＝f(a)－f(－a);令a＝b＝1,有f(1)＝f(1)－f(1)＝0;令a＝1,b＝－1,有f(－1)＝f(1)－f(－1),則f(－1)＝0,f(a)－f(－a)＝0,即f(a)＝f(－a),故f(x)是偶函數.

當x∈(0,1)時,f(x)＞0,即f(x)不恒為零,則f(x)只能為偶函數,不能為奇函數,故選B.

點評

判斷抽象函數的奇偶性,一般采用定義法,即只需對已知等式適當賦值,并推導出奇函數或偶函數的定義式.

3 周期性和對稱性的判斷或證明

若函數y＝f(x)對一切實數x都滿足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b,那么函數y＝f(x)的圖像關于點(a,b)成中心對稱.求解與函數周期性有關的問題,一般采用賦值法,并結合所給抽象函數的等式進行轉化,從而得出f(x)＝f(x＋T)的結論.

解析

(1)在對稱關系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b中,令a＝0,b＝2024,則函數y＝f(x)的圖像關于點(0,1012)對稱.根據原函數與其反函數的關系,可知函數y＝f－1(x)的圖像關于點(1012,0)對稱,故f－1(1012＋x)＋f－1(1012－x)＝0,將上式中的x用x－1012代換,得

(2)將已知恒等式中的x換成x＋m,得

4 綜合性問題

有關抽象函數的綜合性問題,往往以其他數學知識為背景,求解時一般采用賦值法.

例4已知函數f(x)對于任意實數x,y∈R恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y),且當x＞0時,f(x)＞0,f(1)＝1.

(1)判斷f(x)的奇偶性;

(2)求f(x)在[－4,4]上的最小值;

(3)解關于x的不等式:

點評

第(3)問需要對含參的二次函數進行分類討論,難點在于分類討論標準的確定,求解時主要是按照是否有根或根的大小進行分類求解.

(完)