函數單調性的幾個妙用

劉海青

(福建省莆田第六中學)

函數的單調性在數學解題中有著廣泛的應用.有些數學問題,貌似與函數的單調性無關,但如果我們能充分挖掘其結構特點,將其與單調性聯系起來,就會迅速打開解題思路.

1 利用函數的單調性解方程

對于有些涉及高次方程或超越方程的問題,用普通方法求解往往無功而返,若用函數單調性的觀點去處理,可能會化難為簡.

例1解下列兩個方程:

(1)2x3＋x＝18;

(2)ln(x－1)＋ex－2－1＝0.

解析

(1)方程2x3＋x＝18屬于高次方程,似乎無法直接求解,但我們注意到函數f(x)＝2x3＋x是R上的增函數,且f(2)＝2×23＋2＝18,于是根據函數單調性的特征,可知方程2x3＋x＝18只有一個解,且為x＝2.

(2)方程ln(x－1)＋ex－2－1＝0是超越方程,難以直接求解.我們注意到g(x)＝ln(x－1)＋ex－2－1是由y1＝ln(x－1),y2＝ex－2和y3＝－1這三個函數組成的,前兩個函數是增函數,最后一個函數是常數函數,于是由復合函數的單調性,可知函數g(x)在定義域內是增函數.

經觀察,不難得到g(2)＝0,于是根據函數單調性的特征,可知方程ln(x－1)＋ex－2－1＝0只有一個解,且為x＝2.

點評

單調函數是一一對應函數,當f(x)在定義域D上是單調函數,若a∈D,有f(x)＝f(a),則必有x＝a.

2 利用函數的單調性解不等式

當有些不等式,尤其是與抽象函數有關的不等式無法用常規方法來求解時,我們不妨考慮運用函數的單調性求解,并利用函數的單調性將它轉化為普通的不等式或不等式組.

綜上,a的取值范圍為(－∞,－6)∪(1,＋∞),故選B.

點評

本例中的函數比較復雜,必須先觀察它的奇偶性與單調性,這也是求解問題的“突破口”.求解這類問題應確定有關函數是增函數還是減函數,此外,解題過程中不可忽視函數的定義域.

3 利用函數單調性比大小

函數單調性的定義具有雙向性,即已知函數的單調性,可以由自變量的大小關系來確定函數值的大小關系;反之,也可由函數值的大小關系來確定自變量的大小關系.

例3已知a＝e3,b＝πe,c＝eπ,則( ).

A.c＞a＞bB.b＞c＞a

C.a＞c＞bD.c＞b＞a

點評

若可以確定函數的單調性,則比較函數值的大小不必計算函數值,只需比較自變量的大小即可.因此,破解這類問題的關鍵是構造函數,判斷函數的單調性.

4 利用函數的單調性求值域

所謂函數的值域,就是函數圖像在y軸上的射影.若函數在連續區間上是單調函數,則只需求出定義域兩端的函數值,就可確定它的值域.

點評

利用函數單調性的性質求函數的值域,是求有關函數值域問題的首選方法,但要注意的是用該方法求解解答題時,應先證明函數的單調性.

5 利用函數的單調性證不等式

函數的單調性體現了不等關系.對于有些不等式,我們可以用函數單調性的觀點去證明,即需找到一個具有單調性的恰當函數作為證明不等式的“橋梁”.

點評

利用函數的單調性證明不等式的關鍵是構造函數,如何構造函數,需仔細觀察待證不等式的結構特征,從中看出“隱藏”的函數.

當遇到一個數學問題時,如果試著用函數的觀點去思考,那么首先想到的是函數的性質,因為這往往是解決問題的“突破口”.應用函數的性質解題,實質上就是應用函數思想解題,而函數思想是高中數學基本的思想方法之一,我們應高度重視.

(完)