一道導(dǎo)數(shù)壓軸填空題的多思維探究

張會敏

(吉林省長春市十一高中)

函數(shù)、導(dǎo)數(shù)以及不等式的交會問題是近年高考數(shù)學(xué)考查的熱點問題,尤其是涉及兩個變量x1,x2(要么是函數(shù)的零點,要么是函數(shù)的極值點)的問題.此類問題因具有一定的抽象性,導(dǎo)致求解思維往往會受阻,從而不易分析、求解.基于此,本文特選取一道典型試題進行多思維探究,旨在幫助學(xué)生厘清常用解題思路(包括解題的切入點、關(guān)鍵點等),進一步提高分析、解決此類問題的實際能力.

題目已知函數(shù)f(x)＝e2x－e－2x－ax,若函數(shù)f(x)有兩個不同的極值點x1,x2,且0＜x2－x1＜ln2,則實數(shù)a的取值范圍是_______.

分析本題具有一定的綜合性,涉及函數(shù)、導(dǎo)數(shù)以及不等式知識的交會,側(cè)重考查學(xué)生分析、解決問題的能力.因題設(shè)給出了雙變量x1,x2滿足的不等式0＜x2－x1＜ln2,導(dǎo)致求解實數(shù)a的取值范圍具有一定的難度.

解先對題設(shè)條件進行分析.

因為函數(shù)f(x)＝e2x－e－2x－ax,且求導(dǎo)可得f′(x)＝2e2x＋2e－2x－a,所以根據(jù)題意可得關(guān)于x的方程2e2x＋2e－2x－a＝0有兩個不同的實數(shù)根x1,x2,且0＜x2－x1＜ln2.

接下來,從不同的角度加以探究,以便順利求解實數(shù)a的取值范圍.

思路1可采取最基本的方法,先求得x1,x2(利用實數(shù)a表示),再結(jié)合不等式0＜x2－x1＜ln2獲得關(guān)于實數(shù)a的不等式,解之,即可得到實數(shù)a的取值范圍.

方法1因為方程2e2x＋2e－2x－a＝0,即2e2x＋2e－2x＝a,據(jù)此可知a＞0.

對方程2e2x＋2e－2x－a＝0,變形得2(e2x)2－ae2x＋2＝0,因為該方程有兩個不同的實數(shù)根,所以Δ＝a2－16＞0,即a2＞16.又a＞0,所以a＞4.

于是,由一元二次方程的求根公式可得e2x＝所以

綜上,實數(shù)a的取值范圍是(4,5).

點評

該解法盡管看起來計算量較大,但是解題思路比較流暢、自然.此外,學(xué)生解題時需要關(guān)注一元二次方程的求根公式與對數(shù)運算法則以及解不等式知識的靈活運用.

思路2由于經(jīng)過換元(設(shè)e2x＝t)之后,可將方程2e2x＋2e－2x－a＝0轉(zhuǎn)化為關(guān)于“t”的一元二次方程,從而可借助根與系數(shù)的關(guān)系加以靈活分析、轉(zhuǎn)化目標(biāo)問題(轉(zhuǎn)化為求解相關(guān)函數(shù)的值域),最后利用函數(shù)的單調(diào)性即可使問題順利獲解.

思路3注意到函數(shù)h(x)＝2e2x＋2e－2x－a是偶函數(shù),其圖像關(guān)于y軸對稱,所以可知方程2e2x＋2e－2x－a＝0的兩個不同的實數(shù)根x1,x2互為相反數(shù).據(jù)此,可充分借助“消元”技巧分析、轉(zhuǎn)化目標(biāo)問題,最后利用函數(shù)觀點即可使問題順利獲解.

方法3設(shè)函數(shù)h(x)＝2e2x＋2e－2x－a,則因為h(－x)＝h(x),所以h(x)是偶函數(shù),故根據(jù)該函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱可知h(x)的兩個不同零點互為相反數(shù),即方程2e2x＋2e－2x－a＝0的兩個不同的實數(shù)根x1,x2互為相反數(shù),所以x1＋x2＝0.

綜上,實數(shù)a的取值范圍是(4,5).

點評

該解法的切入點是靈活運用函數(shù)h(x)＝2e2x＋2e－2x－a圖像的對稱性,獲得x1＋x2＝0,解題關(guān)鍵是通過消元(消去x1)將原問題等價轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)g(x)＝2ex＋2e－x(0＜x＜ln2)的值域,體現(xiàn)了函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想在解題中的靈活運用,顯然對學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維能力的考查比較深刻、到位.進行類似分析(消去x2)可知,本題亦可等價轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)g(x)＝2ex＋2e－x(－ln2＜x＜0)的值域.

此外,該解法在得到0＜2x2＜ln2之后,也可這樣求解:因為所以2x2是方程2ex＋2e－x－a＝0的實數(shù)根,故2x2是函數(shù)m(x)＝2ex＋2e－x的圖像與直線y＝a的交點的橫坐標(biāo).于是,結(jié)合0＜2x2＜ln2即知在區(qū)間(0,ln2)上,函數(shù)m(x)＝2ex＋2e－x的圖像與直線y＝a有交點.又易知在區(qū)間(0,ln2)上,函數(shù)m(x)＝2ex＋2e－x單調(diào)遞增,所以可得m(0)＜a＜m(ln2),即4＜a＜5,故實數(shù)a的取值范圍是(4,5).

總之,在函數(shù)、導(dǎo)數(shù)以及不等式的交會問題中,若涉及兩個變量x1,x2,且目標(biāo)是求解參數(shù)的取值范圍,則處理問題的關(guān)鍵就是想辦法先轉(zhuǎn)化問題,再靈活運用函數(shù)觀點分析、求解.值得關(guān)注的是,通過此類問題的求解,能夠提高學(xué)生對函數(shù)、導(dǎo)數(shù)以及不等式知識的綜合運用能力,同時能夠較好地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).

鏈接練習(xí)

鏈接練習(xí)參考答案

1.A. 2.C. 3.D. 4.(－11,3).

(完)