以形釋數(shù)，構(gòu)圖求最值

王遠(yuǎn)征

(廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)南校區(qū))

數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究對(duì)象的兩個(gè)方面,高校強(qiáng)基測(cè)試題和數(shù)學(xué)競(jìng)賽題十分重視對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法在解題中靈活運(yùn)用能力的考查.求函數(shù)的最值(或值域)問題是強(qiáng)基校考試題和數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題中的熱點(diǎn),這類試題設(shè)計(jì)新穎別致、巧妙靈活,其解題方法豐富多彩、靈活多變,富有挑戰(zhàn)性.對(duì)解題者的觀察能力、聯(lián)想能力、化歸意識(shí)、靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決問題能力的考查十分到位.本文結(jié)合例題介紹數(shù)形結(jié)合思想在解答求函數(shù)最值問題中的應(yīng)用,以期讀者體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想在解題中發(fā)揮的化難為易、化繁為簡(jiǎn)、化抽象為具體的作用.

1 構(gòu)造兩點(diǎn)間的距離公式求最值

2 構(gòu)造點(diǎn)到直線的距離公式求最值

當(dāng)待求目標(biāo)式中出現(xiàn)了|ax＋by＋c|的形式時(shí),我們可以構(gòu)造點(diǎn)P(x,y)到直線l:ax＋by＋c＝0的距離公式來求最值.

3 構(gòu)造直線的斜率公式求最值

4 構(gòu)造直線和圓求最值

將已知條件和待求式適當(dāng)?shù)睾愕茸冃?根據(jù)直線與圓有公共點(diǎn)時(shí),圓心到直線的距離不大于圓的半徑來列不等式求最值.

它表示以a,b為變量的直線方程,以a,b為變量可以構(gòu)造圓a2＋b2＝r2.當(dāng)圓與直線有公共點(diǎn)時(shí),由直線與圓的位置關(guān)系得

5 構(gòu)造直角三角形求最值

數(shù)形結(jié)合思想是常用的解題技巧,本文中的例題主要介紹了化“數(shù)”為“形”的解題策略和方法,解題時(shí)要求解題者善于觀察式子的結(jié)構(gòu)特征,進(jìn)而產(chǎn)生聯(lián)想、發(fā)現(xiàn)和揭示隱含在式子背后的幾何意義,再借助幾何圖形的直觀性解題,但解題過程中仍然需要利用代數(shù)知識(shí)進(jìn)行嚴(yán)格論證和計(jì)算.值得注意的是,在解題中數(shù)形結(jié)合思想是探究解題思路時(shí)使用的,不可以利用圖形的直觀性代替計(jì)算和推理論證,畫函數(shù)圖像時(shí),應(yīng)該注意函數(shù)自變量的取值范圍.

(完)