2023年高考數(shù)學(xué)北京卷平面解析幾何解答題的多解探究

甘志國(guó)(正高級(jí)教師 特級(jí)教師)

(北京市豐臺(tái)區(qū)第二中學(xué))

2023年高考數(shù)學(xué)北京卷第19題是一道平面解析幾何解答題,本文給出了四種常規(guī)解法,揭示了其背景是帕斯卡定理,還給出了該題結(jié)論的一般情形.

注本題第(2)問(wèn)對(duì)應(yīng)的圖形(圖1)較復(fù)雜:涉及一個(gè)橢圓、四個(gè)定點(diǎn)A,B,C,D及三個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,M,N,兩條定直線BC,y＝－2及兩條動(dòng)直線AP,PD.

本題第(2)問(wèn)的運(yùn)算量也較大:除了要求出四個(gè)定點(diǎn)A,B,C,D及三個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,M,N的坐標(biāo),一條定直線BC及兩條動(dòng)直線AP,PD的方程,動(dòng)直線MN的斜率,還要證明兩條直線CD,MN不重合,而且這里的運(yùn)算多是含兩個(gè)參數(shù)的復(fù)雜運(yùn)算(比如繁分式的化簡(jiǎn)).

這道高考題第(2)問(wèn)的背景是帕斯卡定理“二次曲線內(nèi)接六邊形(包括退化的情形)的三組對(duì)邊的交點(diǎn)共線”.

如圖1 所示,橢圓E的退化內(nèi)接六邊形ABCCDP的三組對(duì)邊AB與CD,BC與DP,CC(即直線y＝－2)與AP的交點(diǎn)為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),M,N,這三點(diǎn)共線,即AB∥CD∥MN.

由此,還可給出該題的一般情形的結(jié)論:

由帕斯卡定理,可編擬出很多類似于2023 年北京卷第19題的題目,本文不再贅述.

(完)