品味高考試題中平面向量的“交匯性”

杜曉霞　王勇

平面向量作為高中數學的重要內容，它不僅具有強大的工具性，還具有很強的交匯性.高考命題專家抓住向量的這些特性，將它與平面幾何、三角、函數、邏輯用語、解析幾何、不等式、立體幾何等重要內容交匯，命制了眾多好題，旨在考查學生的直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養.下面以近兩年高考真題為例，探究和品味平面向量的“交匯性”.

1.與平面幾何交匯

例1 （2022年浙江卷第17題）設點P在單位圓的內接正八邊形A1A2…A8的邊A1A2上，則PA12+PA22+…+PA82的取值范圍是.

解析：如圖1，連接OP，OA2，OA6，則PA22+PA62=（OA2－OP）2+（OA6－OP）2，已知OA2與OA6反向共線，所以PA22+PA62=OA22－2OA2·OP+OP2+OA62－2OA6·OP+OP2=OA22－2OA2·OP+OP2+OA62+2OA2·OP+OP2=2OP2+2，同理得PA12+PA52=2OP2+2，PA42+PA82=2OP2+2，PA32+PA72=2OP2+2，所以PA12+PA22+…+PA82=8OP2+8，在ΔOA1A2中，易知1·cosπ/8≤OP≤1，注意到cosπ/4=2cos2π/8－1，所以cos2π/8=2+2/4，所以12+22≤8OP2+8≤16，所以PA12+PA22+…+PA82的取值范圍為12+22，16.

點評：本題以單位圓及其內接正八邊形為載體，考查正八邊形的性質、平面向量的加法運算及數量積運算，考查數形結合思想，體現了直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養.

點評：本題是用平面向量“包裝”的立體幾何多選題，對平面向量和立體幾何的相關知識考查充分，對考生的學科素養和關鍵能力要求極高，是一道難得的創新題.