邊角關系共糾纏　基底法則來解難

何燈

試題呈現 已知點A（－1，0），B（3，0），P是圓O：x2+y2=45上的動點，則sin∠APB的最大值為（）.

A.3/3B.5/3C.3/4D.5/4

上述試題以圓為載體，考查三角形中的邊角關系；考查推理論證能力、運算求解能力；考查直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養.由于P點位置的不確定，且所鋪設的條件無法直接轉化為∠APB，導致用正余弦定理求解本題較為困難.

借助于余弦定理及導數工具，有解答過程：

解析一：設P（m，n），則m2+n2=45，其中m，n∈［－35，35］.因為A（－1，0），B（3，0），所以AP=（m+1）2+n2=2m+46，PB=（m－3）2+n2=54－6m，由余弦定理得cos∠APB=PA2+PB2－AB2/2PA·PB=2m+46+54－6m－16/22m+46·54－6m=21－m/m+23·27－3m，因為m∈［－35，35］，所以cos∠APB>0，得sin∠APB=1－cos2∠APB=－4m2+180/－3m2－42m+621=23/3－m2+45/－m2－14m+207.記y=－m2+45/－m2－14m+207（m∈［－35，35］），則y′=2（m－21）（7m－15）/（－m2－14m+207）2，由y′>0得－35≤m<15/7，由y′<0得15/7

上述過程的求解思路較為自然：設點、求邊、余弦定理求角、化sin∠APB為m的函數、求導尋最值，但整個過程運算量較為龐大，大部分同學無法順利完成.本題是否有其他較為簡潔的求解方法？

關注到題設已知“三角形一邊及分線OP長”，待求另兩邊的“夾角”，聯想到可以嘗試通過向量“基底法則”來溝通已知量與待求量之間的內在聯系.選定PA，PB為平面向量的基底，運用平面向量基本定理將分線所在向量OP用基底線性表示，進而通過平方獲得命題條件與結論之間的關系，實現問題的求解.

解析二：顯然，要使sin∠APB取最大值，點P不能在x軸上.

在△APB中，可得PO=PA+AO=PA+1/4AB=PA+1/4（PB－PA）=3/4PA+1/4PB，設|PB|=a，|PA|=b，則PO2=（3/4PA+1/4PB）2=9/16b2+1/16a2+3/16×2abcos∠APB=45.

由余弦定理得2abcos∠APB=b2+a2－16，則9/16b2+1/16a2+3/16（b2+a2－16）=45，化簡得1/4b2+1/12a2=16，則cos∠APB=b2+a2－16/2ab=b2+a2－1/4b2－1/12a2/2ab=1/8（3b/a+11a/3b）.由基本不等式得cos∠APB≥1/8×23b/a×11a/3b=11/4（等號成立當且僅當3b/a=11a/3b且1/4b2+1/12a2=16，即a=1214/7，b=4154/7），從而sin∠APB=1－cos2∠APB≤1－（11/4）2=5/4，選D.

通過平面向量基本定理和基底法則，上述求解過程建立起分線長與三角形的邊角之間的聯系，進而借助余弦定理及基本不等式，實現了問題的輕松求解，體現了化歸與轉化思想、數形結合思想和方程思想在問題求解過程中的引領作用.類似于上述過程，還可實現試題結論的一般性拓展，此留給有興趣的讀者繼續探究.