一道高三期中調研試題的多解探究

許培琳

1 原題呈現

已知a>0，b>0，且a+1/b=1，則b/a的最小值是 .

本題是連云港市2022-2023學年度第一學期高三數學期中調研題的第13題，題干短小精悍，解法靈活多樣，值得深入探究.

2 解法探究

簡析1：直接利用基本不等式a>0，b>0，a+b≥2ab進行求解.

解法1：因為a>0，b>0，有基本不等式1=a+1/b≥2a/b（當且僅當a=1/b即a=1/2，b=2時取等號）得a/b≤1/4，所以b/a≥4，所以b/a的最小值是4.

簡析2：“1”的代換，利用基本不等式.

解法2：a>0，b>0，且a+1/b=1，所以b/a=b/a×（a+1/b）=b+1/a=（b+1/a）（a+1/b）

=ab+1/ab+2≥2+2=4，當且僅當ab=1即a=1/2，b=2時取等號，所以b/a的最小值是4.

簡析3：減元，利用a表示b，轉化成含a的二次函數，利用二次函數性質求最值.

解法3：因為a>0，b>0由a+1/b=1得b=1/1－a（0

簡析4：代數換元，結合“1”的代換，利用基本不等式進行求解.

解法4：令a=x，1/b=y（x>0，y>0），由a+1/b=1得x+y=1，所以b/a=1/xy=x+y/xy=1/x+1/y=（1/x+1/y）（x+y）=y/x+x/y+2≥2+2=4，當且僅當x=y，即a=1/2，b=2時取等號，所以b/a的最小值是4.

簡析5：三角換元，利用三角函數有界性求解.

解法5：令a=sin2α，1/b=cos2α，所以b=1/cos2α，所以b/a=1/sin2αcos2α=4/sin22α≥4，當且僅當sin22α=1，即a=1/2，b=2時取等號，所以b/a的最小值是4.

簡析6：構造以d等差數列，轉化成d的二次函數，利用二次函數求最值.

解法6：因為a>0，b>0由a+1/b=1=2×1/2得a，1/2，1/b成等差數列，設公差為d（－1/2

簡析7：減元，利用b表示a，湊配b－1+1/b－1形式，再利用基本不等式求解.

解法7：因為a>0，b>0由a+1/b=1得a=1－1/b=b－1/b（b>1），所以b/a=b2/b－1=（b－1）2+2（b－1）+1/b－1=（b－1）+1/b－1+2≥2+2=4，當且僅當b－1=1/b－1時取等號即a=1/2，b=2.所以b/a的最小值是4.

簡析8：巧妙構造定比，利用定比分點坐標公式結合基本不等式求解.

解法8：因為a>0，b>0，由a+1/b=1得0<1/b<1，00，則1/b=λ/1+λ，a=1/1+λ，所以b/a=（1+λ）2/λ=λ+1/λ+2≥2+2=4，當且僅當λ=1，即a=1/2，b=2時取等號，所以b/a的最小值是4.

3 變式訓練

變式 （1）已知x>0，y>0，且x+4/y=8，則x/y的最大值為 ；

（2）已知a>0，b>0，且a+1/b=2，則4/a+b的最小值為；

（3）已知x>0，y>0，且1/x+1/y=1，則4x+2y+b/a的最小值為；

（4）已知負實數a，b，滿足a+b=－2，則a－1/b的最小值為 .

4 結語

一道好的數學問題往往能夠激發學生學生學習數學的熱情和探究欲望，引導數學探究活動有效進行.而一道好的數學試題應具備“容易接受、一題多解、蘊含數學思想、不故意設陷阱、可推廣和變式”等特征.上述解題中，解題方法靈活多樣，不同層次的學生都能獲得不同程度的知識建構機會，讓他們感受到數學活動的快樂.