為何錯解如此流行

田富德

不等式恒成立問題一直是高考、各類省市質檢的熱點.解決此類問題，最終均轉化函數的最值問題，而函數導數是求解函數最值的重要方法.為了增加試題靈活性和簡潔性，ex與lnx備受命題者的青睞.近幾年，ex與lnx同時出現的題也如雨后春筍，直接構造函數求解往往比較復雜甚至不可解，利用同構策略結合函數的單調性大大減少了運算量，這也讓廣大師生把同構研究得更透徹.

1 同構思想的含義

導數問題中經常出現含參等式或不等式，很大一部分題是命題者利用函數單調性構造出來的，如果我們能找到這個函數模型，無疑大大加快解決問題的速度．即通過變形，使式子左右兩邊結構形式完全相同，找到不等式兩邊對應的同一函數模型，這就是同構法．例如：若F（x）≥0能等價變形為fg（x）≥fh（x），然后利用f（x）的單調性，如遞增，則轉化為g（x）≥h（x），簡化式子，事半功倍．同構思想的本質是借助于函數的單調性性質對條件進行等價變換.

在例7中，滿足了變量起點處x=0時，內層變量相等，即“2x=x”，但利用錯誤性質仍不能得到正確結果.對比例7與前述例題，重大區別是，在參數變化中，例7的函數可能有3個單調區間，而例1至例6的函數均至多兩個單調區間，盡管有的函數求導復雜，但單調區間并不多.在例1至例5中，恒成立區間起點處內層變量相等保證了在起點處附近函數只能單調遞增，這樣排除了先減后增的情況，先增后減又顯然違備條件，因此在同構時，內層函數至多兩個單調區間且區間起點處內層變量相等，錯解可以得到正確的結果.但當內層函數可能3個或更多個區間時，錯解就幾乎不可能得到正確的結果了.

解題研究是中學數學一線教師及教研人員必做的功課，只能深刻理解試題背景蘊含的本質，才能站在至高點上引導學生解題，函數題海博大精深，本文旨在拋磚引玉，讓更多的老師把此類問題研究的更加透徹，相互學習.