基于一道教材例題為背景的命題實踐與思考

晏鴻

在人教A版高中選擇性必修第二冊第5頁例2的第（2）小問中有這樣一道題：根據數列an的前4項2，0，2，0，…，寫出數列的一個通項公式.題不難，但很典型，教材編者希望通過這道題回歸數學概念本質，強化對“數列”和“通項公式”定義的理解，就看能不能挖掘它的深層價值，這也是命題的切入點.筆者進行了嘗試，期待拋磚引玉.

一、命題歷程

思路一 命制合格性學業水平考試難度試題

例1 已知數列an前4項為3，1，3，1，…，則an=.（寫出符合要求的一個答案即可）.

立意分析：合格性學業水平考試是高中學生畢業或同等學力認定的依據，試題難度都不大，絕大多數都屬于模仿改編題.對于教材上的例題，很容易得到一個通項公式an=（－1）n+1+1. 在命題時，可以在這道例題上進行各種變式，如在這個數列各項上進行簡單加1，就得到了本題的一個通項公式an=（－1）n+1+2.

在試題評析的過程中，還可以再進行追問和引導，讓學生發現這個數列有兩個特點：一是所有的奇數項和所有的偶數項都相同；二是每兩個數字一循環.于是就產生了兩個探究的方向，即分類討論的方向與周期性方向.由于數列是特殊的函數，這兩個方向實際上都是研究數列問題時常用的思維視角，同時也得到另外兩個通項公式.

（1）由于數列an的奇數項和偶數項都相同.所以通項公式可以寫成分段函數式，即an=3（n為奇數），

1（n為偶數）.

（2）由于數列an具有周期性，可以利用三角函數的周期性，又能得到兩個通項公式：①an=2－cosnπ；②an=tan（2n－1）π/4+2. 通過這道題強調對于同一個數列，通項公式不一定是唯一的.

思路二 命制高考難度試題

例2 已知數列an前6項為2，－2，－2，2，－2，－2，…，則an=.（寫出符合要求的一個答案即可）.

立意分析：命制高考難度的試題時，可以有一定數量的開放性問題，問題情境的設計應自然、合理，重點體現知識的遷移與應用. 本題實質是由1，－1，－1，1，－1，－1，…這樣一個數列演化而成，于是得到兩個通項公式an=2·（－1）n2－n/2或an=22cos（2n－1）π/4. 同時這個數列也可以看成（－1）0，（－1）1，（－1）－1，（－1）0，（－1）1，（－1）－1，…，各項乘以2得到，再聯想到正弦函數性質，從而得到另一個通項公式an=2·（－1）－23/3sin（2n+1）π/3.

思路三 命制競賽難度試題

例3 已知數列an的前9項為1，1，1，2，2，2，3，3，3，…，則an=.（寫出符合要求的一個答案即可）.

立意分析：競賽題對于鞏固基礎知識、培養深度思維能力、問題關聯能力、選拔創新性人才，有不可替代的作用. 如果仔細觀察聯想，利用三角函數的周期性就可以解決本題.

它可由數列1，0，0，2，0，0，3，0，0，…，其中an=2/31/2+sin（2nπ/3－π/6）·n+2/3；數列0，1，0，0，2，0，0，3，0，…，其中an=2/31/2+sin（2nπ/3－5π/6）·n+1/3；與數列0，0，1，0，0，2，0，0，3，…，其中an=2/31/2+sin（2nπ/3－3π/2）·n/3三個相加得到，故an=2/31/2+sin（2nπ/3－π/6）·n+2/3+2/31/2+sin（2nπ/3－5π/6）·n+1/3+2/31/2+sin（2nπ/3－3π/2）·n/3.

下面這幾道類似題，供讀者賞析.

①、已知數列an的前幾項為0，1，0，2，0，3，…，則an=；

②、已知數列an的前幾項為1，1，2，2，3，3，…，則an=；

③、已知數列an的前幾項為2，0，0，2，0，0，2，0，0，…，則an=.

（答案：①an=1+（－1）n·n/4；②an=2n+1+（－1）n+1/4；③an=1+2sin（2n+1）π/4）

二、命題思考

基于以上的命題實踐，提煉出如下命題原則和程序.

1.命制的試題要符合科學性、規范性的原則. 試題內容與答案要科學合理，表述準確簡潔，沒有歧義，評分標準具有可操作性. 靈活運用符號、圖表、文字三種語言，使得字符圖表匹配，圖形規范優美，語言通俗易懂，能緩解學生解題壓力，帶給學生信心和動力.

2.命制的試題要有精準度和有效性.精準度是指試題的考查內容、考查的思想方法、檢測的能力意識要有針對性.一般情況下，選擇題、填空題每題考查知識點1～3個；解答題考查知識點3～6個、思想方法2～4個、能力意識2～3個.試題的思維量、運算量、閱讀量及解答書寫量都要恰當.有效性是指試題具有較好的檢測功能，真正起到診斷問題、選拔分層的作用，如試題的內容、難度、信度、區分度跟題型、所處試卷的位置是否匹配，考查知識點之間搭配是否自然合理.

3.命制的試題要有思想性和公平性. 試題要體現新課程的理念，對關鍵能力的考查要求.既要關注經濟社會與科學技術的發展，突顯素養立意，又要對城鄉不同地域、不同生活經驗的學生公平合理．

4.命制試題的基本程序.應包括立意與選材，關聯與建構，加工與調整，審核與定型四個步驟，以此確保編題質量.

參考文獻

［1］ 課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書（A版） 數學（選擇性必修第二冊）［M］.北京，人民教育出版社，2019.