理清算理算法　提升運算素養

褚玉霞　戚有建

一、問題提出

《普通高中數學課程標準（2017版）》提出了數學六大核心素養，明確把“數學運算”列為六大核心素養之一，明確了“數學運算”的定位：數學運算是在明晰運算對象的基礎上，依據法則解決數學問題的素養.通過運算可以促進數學思維發展，形成規范化思考問題的品質，養成實事求是、嚴謹求實的科學精神.“數學運算”主要表現為：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果.

教學中，很多教師片面的將數學運算理解為追求速度、技巧、準確率的技能訓練，這樣的訓練方式對學生運算素養的提升是低效的.實際上數學運算是演繹推理的一種形式，數學運算離不開算理的支撐.算理是客觀存在的規律，能為數學運算提供正確的思維方式，從而保證運算的合理性和正確性.算理是在把握問題結構的基礎上，從格局上合理布置運算的各個環節，使運算承上啟下、有條不紊和結構緊湊，便于運算過程的自然展開，算法是一個將需要引入的運算法則、定理、公式組織成一個緊湊的系統，形成運算的一套程序.每個運算環節中都蘊含著相應的“算理”，我們應該幫助學生分析這些算理，從而指導運算，讓學生體會到算理是進行一類運算的客觀規律，進而提高運算的嚴密性和可操作性.本文以一道解幾題為例，談談筆者在數學運算素養培養和提升方面的一些做法和思考.

二、教學案例

題目 如圖1，已知C，D分別是橢圓x2/4+y2/2=1的左右頂點，動點M滿足MD⊥CD，連CM交橢圓于P，證明：OP·OM為定值．

分析1：本題研究的圖形是一個動態圖形，對于動態圖形，我們要思考圖形因何而動，圖形中的動態元素之間存在怎樣的聯系.動因確定運算對象，牽一發而動全身.本題如果理解為M點動而引起P點動，從而導致OP·OM在動，那么我們不妨從設點M開始，由于橫坐標已知，所以可以設M點縱坐標.

導圖1：設點M（2，m）→用m表示P點坐標→計算OP·OM

解法1： 設M（2，m），則直線CM的方程為y=m/4（x+2），代入橢圓方程x2/4+y2/2=1得（m2+8）x2+4m2x+4m2－32=0，其中Δ=1024，因為－2是此方程的一個根，所以－2xP=4m2－32/m2+8，即xP=16－2m2/m2+8，可求得P（16－2m2/m2+8，8m/m2+8），所以OP·OM=2×16－2m2/m2+8+m×8m/m2+8=4，為定值.

點評：解法1通俗易懂，學生容易想到，其中對方程（m2+8）x2+4m2x+4m2－32=0的認識是關鍵，可能有學生擔心此二次方程的根會很復雜、會是無理根，實際上，此二次方程的根肯定是有理根，不會是無理根，因為此方程實際上已經知道一根是－2.另外此二次方程實際上可以化簡為一次方程，因為有一個因式是（x－2）．

分析2：根據分析1，本題可以理解為M點動而引起P點動，從而導致OP·OM在動，由于C點是定點，所以M點動等價于直線CM的斜率在動，所以本題也可以設直線CM的斜率.

導圖2：設直線CM斜率k→用k表示P點坐標→計算OP·OM

解法2：設直線AD的方程為y=k（x+2），代入橢圓方程x2/4+y2/2=1得（2k2+1）x2+8k2x+8k2－4=0，因為－2是此方程的一個根，所以－2xP=8k2－4/2k2+1，即xP=2－4k2/2k2+1，可求得P（2－4k2/2k2+1，4k/2k2+1），又由直線AD的方程為y=k（x+2）可得M（2，4k），

所以OP·OM=2×2－4k2/2k2+1+4k×4k/2k2+1=4，為定值.

點評：比較解法2和解法1可以發現，解法2直線AD方程y=k（x+2）中的k實際上就相當于解法1直線CM方程y=m/4（x+2）中的m/4，所以解法2和解法1本質上是一樣的，但是解法2的過程稍簡潔一些.

分析3：“M點在直線x=2上動”等價于“P在橢圓x2/4+y2/2=1上動，直線CP交直線x=2于M”，所以本題也可以設P點的坐標.

導圖3：

設點P（x0，y0）→用x0，y0表示M坐標→計算OP·OM

解法3： 設P（x0，y0），則直線CP的方程為y=y0/x0+2（x+2），可得M（2，4y0/x0+2），所以OP·OM = 2x0? + 4y0 2/x0? + 2 = 2x0 2 + 4y0 2 + 4x0 /x0? + 2，又由P在橢圓上得x0 2/4 + y0 2/2 = 1，即2x0 2 + 4y0 2 = 8，所以OP·OM = 2x0 2 + 4y0 2 + 4x0 /x0? + 2 = 8 + 4x0 /x0? + 2 = 4，為定值.

點評：解法3以P點的坐標P（x0，y0）為參數，看起來有2個參數，但這2個參數滿足橢圓方程，所以可以通過方程的變形整體消參，這里對方程的代數變形要求較高.另外，解法1、解法2都需要將直線和橢圓的方程聯列，而解法3不需要方程的聯列，所以解法3運算的效率更高，充分彰顯了解析法的特點和方程的魅力.

分析4：根據分析3，本題可以設P點坐標，P點坐標包括三角形式.

導圖4：

設P（2cosθ，2sinθ）→用θ表示M坐標→計算OP·OM

解法4： 設P（2cosθ，2sinθ），則直線CP的方程為y=2sinθ/2cosθ+2（x+2），可得M（2，22sinθ/cosθ+1），所以OP·OM=4cosθ+4sin2θ/cosθ+1=4cos2θ+4sin2θ+4cosθ/cosθ+1=4，為定值.

點評：解法4和解法3本質上是一樣的，但解法4比解法3運算路徑更短、運算效率更高，因為解法4中只有一個參數.

三、教學思考

1、明晰運算對象是提升運算素養的前提

《普通高中數學課程標準（2017版）》指出，數學運算素養是在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養.可見明晰運算對象是思路探究、程序設計、方法選擇的前提和起源．所以我們要結合運算情境，引導學生多角度、多層次觀察運算對象，得到不同的表達形式，即運算對象的多元表征，挖掘運算對象的內涵和背景，從而探究運算思路，設計運算程序．

2、理清算理算法是提升運算素養的關鍵

當前，很多教師在進行運算教學時側重于技能的訓練，將數學運算變成了追求速度、技巧、準確率的技能訓練，這樣的訓練方式對學生運算素養的提升是盲目的、低效的.實際上，數學運算是演繹推理的一種形式，數學運算離不開算理的支撐.算理是客觀存在的規律，能為數學運算提供正確的思維方式，從而保證運算的合理性和正確性，提高運算的嚴密性和可操作性.

3、親身體驗過程是提升運算素養的根本

很多教師在進行運算教學時，重視思路分析卻忽視讓學生真正動手去算，從而導致部分學生不愿算、不敢算、不會算．忽視學生的親身體驗，運算經驗的積累、運算素養的提升是一句空話．因此，只有讓學生親身經歷完整的運算過程，把分析運算條件、探求運算思路、設計運算程序、檢驗運算結果這些過程還給學生，才能充分培養他們的運算素養，優化他們的思維品質．