抓住數式通性學透二次根式

浦敘德

二次根式屬于初中“數與代數”板塊中“式”的研究范疇，是在學習了整式與分式等有理式基礎上對“式”的繼續研究。在學習本章內容的過程中，我們已經具備了“數”學習和“有理式”學習的經驗。因此，借助這些數學現實，抓住數式通性，我們就可以學透這章的內容。

一、了解二次根式的知識來源

關于“式”的研究，始于蘇科版數學教材七（上）第3章“代數式”。在介紹了“字母代替數”形成代數式之后，我們分別學習了單項式與多項式，其中單項式與多項式統稱為整式。我們八（下）學習了分式，把整式與分式統稱為有理式。二次根式是一類新的代數式，今后我們會知道，這類代數式屬于無理式中的一種。初中階段我們主要學習的代數式就是有理式與無理式（二次根式）。由上面的知識發展路徑，就可以得到二次根式的知識來源圖（如圖1）。

二、理解數式通性的主要體現

“數”與“式”是初中代數中的兩大內容，我們是以交叉螺旋上升的方式學習的。其中，具體的數是特殊的，抽象的式是一般的，用字母表示數，就是從特殊走向一般。在數的學習上，我們是按照每類數的定義、性質、運算的順序學習的，先是進行了數系擴充，引進負數概念得到有理數；再把整數與分數統稱為有理數，在有理數的基礎上學習了無理數，把有理數和無理數統稱為實數，初中階段數的學習就限于實數范圍。在數系擴充的同時，我們分別研究了每類數的性質，在此基礎上進行各類數的運算。由上面二次根式的知識來源比較，我們可以發現，數與式的發展路徑是完全一致的，式的學習也是按照每類式的定義、性質、運算展開的，這是數式通性的外在體現，如圖2。

下面，再舉一個簡單的例子來看內在體現，如“計算3x+2x”這樣的整式的加（減），就是合并同類項。合并同類項時，系數相加（減），字母和字母的指數不變，即3x+2x=（3+2）x=5x。我們發現，原來是式的加（減）運算，結果變成了數的加（減）運算。所以，從本質上來講，所有的式的運算最后都轉化成了數的運算，二次根式的運算也是如此。

三、掌握二次根式的核心內容

本章主要研究二次根式的定義、性質、運算三個部分。先說定義，一般地，式子[a]（a≥0）叫作二次根式。對式子[a]（a≥0），你是不是感覺很熟悉？我們知道，在實數范圍內，任何數的平方都是非負數，反之，對一個數進行開方時，負數沒有平方根。如果x2=a，那么把±[a]叫作a的平方根，其中[a]（a≥0）叫作a的算術平方根。原來，[a]（a≥0）從數的角度看是算術平方根，從式的角度看就是二次根式。因此，我們可以從數與式兩個不同的視角認識[a]（a≥0）。

再說二次根式的性質。既然二次根式[a]也是a的算術平方根，所以，首先有“a≥0和[a]≥0的雙重非負性”；其次，由于算術平方根有“[a2]=|a|”及“（[a]）2=a（a≥0）”兩個性質，所以二次根式也具有這兩個性質。

最后說一下二次根式的運算，無論是數的運算，還是式的運算，首先我們要明白算法，即要知道怎么算，一般是根據運算法則、運算性質進行；其次要明白算理，即為什么要這樣算，是算法的道理性、合理性；最后是形成算能，即在算對的基礎上算快和算優，這就是數學運算能力，它是初中生學習數學必須達成的關鍵能力。二次根式要進行加減乘除乘方運算，由上面的數式通性可知，只要利用每一個運算的法則，就可以轉化成對應的數的運算。在運算過程中，同學們一定要抓住“式子的結構”，才能快速提高自己的運算能力。需要特別說明的是，數的運算都是按照“先加減，后乘除，最后乘方、開方”的次序學習，有理式的運算也是如此，但無理式中的二次根式卻是按照“先乘除，后加減”的次序學習，這是因為二次根式只有先化成最簡二次根式之后，才能進行合并同類二次根式的加減運算，所以，二次根式是先學習乘除法，再學習加減法。

（作者單位：江蘇省無錫市新吳區教師發展中心）