文明古國與二次根式

劉向旭

二次根式與開平方運算及二次方程求解有關，幾乎所有的文明古國都對開平方的運算方法有所研究。

在古埃及的紙草書中，就有[614] =2[12]。古埃及人能夠建造金字塔和巨大神殿的事實，足以說明他們已經積累了豐富的、實用的數學知識。

在耶魯大學圖書館收藏的古巴比倫泥板中，有一塊編號為YBC7289，制作于公元前1800年至公元前1600年。它上面刻著一個帶有兩條對角線的正方形，還刻著兩組楔形數字，其中一組用現代數字可以寫作1，24，51，10，將它從六十進位制換算成十進制，表示的是[305470216000]，約等于1.414213，是[2]的近似值；另一組可以寫作42，25，35，換算后表示的是[30547720]，約等于42.426，近似于邊長為30的正方形的對角線長度。它所展現的三千多年前的計算精確度，令現代人驚嘆不已。

公元前6世紀，古印度的《繩法經》中就包含了設計不同形狀祭壇的幾何法則。當設計面積為2的正方形祭壇時，古印度人需要知道[2]的值，因此給出了它的近似表達式：[2]≈1+[13]+[13×4]-[13×4×34]≈1.414215686。

在中國《九章算術》的第四卷“少廣”中，應用了開平方法計算，用到了公式（a+b）2=a2+2ab+b2=a2+（2a+b）b。開方時，若開不盡，則可以無限計算下去，每一個答案都比前面的答案更逼近真正的結果?！叭糸_之不盡者為不可開，當以面命之?！币蚨o出了無理數，并冠名為“面”。

然而，無理數的發現曾在西方引發了一次數學危機。公元前470年左右，希帕索斯因為發現了無理數[2]而被畢達哥拉斯學派視為異己，并為真理獻出了寶貴的生命。

（作者單位：江蘇省南京市中華中學）