理解數學本質 優化習題設計

魏國杰

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：“習題的設計要關注數學的本質，關注通性通法?！薄坝掠谔剿饕恍╅_放性的、非常規的實際問題與數學問題?！遍_放性習題是學生核心素養的培養載體，對于促使學生用創新和辯證的思維去解決實際問題具有重要價值。

開放性習題通常分為條件開放、結論開放和解題策略開放三種類型。結論開放習題可以分為側重于鞏固練習的遷移性習題和側重于綜合運用的研究性習題。本文在此主要對研究性習題進行探析研究。

一、開放性習題設計應基于對數學知識本質的理解

開放性習題的設計要充分考慮所學章節知識的本質，注重知識的整體性與知識間的邏輯聯系，了解該部分知識點所承載的數學思維。數學是一個系統整體，知識點之間存在本質的聯系。

比如，為使學生體會“方程是刻畫生活中不同量之間等量關系的數學模型”的數學本質，在《一元一次方程解應用題》章節可以設置如下開放性習題：請以你的年齡為方程的解，編寫一道年齡類的應用題;到某商場了解打折銷售的情況，自己編寫一道可以用方程解答的應用題;給定方程3X+4（X+2）=64，聯系生活實際編寫一道數學習題……再如，為使學生理解“函數是兩個變量之間的對應關系”的數學本質，在《一次函數的應用》章節可以設計“尋找生活的一次函數模型”這個開放性習題;在《二次函數的應用》章節可以借助滑雪運動員運動的路線、噴泉的水流、標槍的投擲、拋物線形的拱橋、球類的空中路線等編制一些遷移性習題。

這樣的開放性習題設計，既突出了學科知識的本質，又體現了學生思維的廣度與深度，可以使學生體會到數學學科的價值及其蘊含的模型思想。

二、開放性習題設計應著眼于學生學科核心素養的提升

開放性習題素材的選取應貼近學生的生活現實或數學現實，使學生經歷從現實中抽象出數學問題的完整過程，從中獲得一些設計開放性習題的方法和經驗，從而達到提升學科核心素養的目的。

比如，為樹立學生的“數據觀念”，我們可以設計“身邊的概率與統計”研究項目，分析學生面對開放性問題的行為表現和所形成的最終作品，來評價其學科素養的具體表現。

再如，為提升學生的模型觀念和應用意識，我們可以設計“設置一個遮陽篷”的研究性習題。在解決該問題的過程中，學生根據生活中實際圖形抽象出幾何圖形后，就把實際問題轉化成了數學問題，學習就有了一個思維支架。直角形的遮陽篷可以借助解直角三角形的面積來解決，圓形的遮陽篷可以借助圓的知識來解決，拋物線形的遮陽篷可以借助拋物線的知識來解決。

開放性習題的設計要有助于學科知識的遷移、運用和創新，要有對學習過程的建構性、真實性和過程性的評價。開放性習題測評的是學生在真實的、開放性的情境中表現出來的應用知識與技能的能力，測評的也是學生數學學科核心素養的發展水平。

三、梳理開放性習題設計流程，增強數學習題教學的實效性

在現行教學中存在開放性習題比較少、利用率不高的現象，其形成原因在于已有的開放性習題目標針對性不強、內容不甚科學、類型比較單一、問題難度不合理。為增強開放性習題的實效性，我們在設計習題的內容時需要考慮以下問題：本節知識涉及哪些思想方法？要培養學生哪些數學學科能力？本節知識與學生的生活現實、數學現實和其他學科現實有哪些關聯？該開放性習題需要借助什么樣的現實情境來呈現？所借助的問題情境是否客觀存在？提供的數據是否可信且有實際含義？等等。

同時，在引領學生解決開放性習題時要考慮以下問題：這個開放性習題考查了哪些知識點？如何根據題目所給的信息找出問題的解題思路？這個題目是否還有其他的方法和更好的解決方案？能否結合案例歸納出探究此類數學問題的一般方法？等等。

在開放性習題展開過程中，教師引導模式可以分為六個階段：呈現問題情境、引領建構問題、啟發獨立思考、組織協作學習、總結研究成果和提升促進遷移。相對應的學生學習模式也可以分為六個步驟：進入情境、自主學習、獨立思考、協作學習、鞏固知識和學習遷移。

四、開放性習題教學應選用探究式、參與式和互動式等教學方式

學生對開放性習題的解答有利于展示不同認知風格學生的學習成果。在教學時，我們要注重引導學生做到“解題思路自主探究，解題方法自主尋找，解題規律自主發現，數學問題自主解決”。匈牙利數學家波利亞說：“學生應該專心地、反復地并且從各個方面來考慮題目的主要部分?！?/p>

比如，“設計噴泉”就可以作為一個探究式開放性習題來進行。某公園準備修建一個半徑為10米的圓形噴泉，設計標準是噴泉高度不能低于5米，噴出的水流不會濺到外面。請同學們設計一個符合要求的噴泉圖案。圍繞這個實際問題，我們可以讓學生在合作交流中進行思考：這片空地的形狀是什么樣子？這片空地的大小是多少？修建的噴泉池的形狀是什么樣子？噴嘴的型號有沒有具體要求？噴嘴安裝在什么位置效果最好？噴泉水流的高度和噴射的距離有沒有規定？通過對這六個問題的追問，學生對實際情境的模擬更全面，對實際問題的把握更精準。

這種探究式、參與式和互動式的教學方式可以使學生真切感受到開放性任務的結構性、層次性和趣味性，有利于學生積極參與、體驗成功、獲得發展，有利于學生思維的發展。

改進作業是落實“雙減”政策的必然要求，開放性習題的設計就是提升作業質量的一種優化策略。回歸學生思維起點的開放性習題設計，可以使數學知識回歸于現實生活，可以給學生提供廣闊的思維空間，從而培育學生的數學學科素養——這對于推進素質教育、提高教育教學質量都有著重要意義。