探究初中數學解題教學中逆向思維的應用

黎春

【摘要】使用逆向思維的核心是深入探究與積極思考問題，并建立與正向思維完全相反的思維方式.逆向思維運用在初中數學解題過程中，可以有效地打破常規的思維方式，創造出不一樣的問題解決方式.初中學生運用逆向思維不僅可以快速解決問題，還能提高學生的創造能力，深化創新意識.本文重點分析逆向思維在初中數學解題教學中的作用，并針對逆向思維的有效應用提出具體的策略，供廣大數學教師借鑒，并嘗試應用到課堂教學中.

【關鍵詞】逆向思維；初中數學；解題教學

在初中數學教學中，教師要對課程的內容進行精煉，增強“逆向思維”的應用，這樣可以幫助學生更好地解決數學問題，并加深對數學問題的認識，從而增強學生的數學思維能力，促使學生能夠從全方位角度解題，提高學生的解題能力和效率.

1 逆向思維在初中數學解題教學中的作用

1.1 可增進數學解題思維的全面延展

在初中數學課中，教學內容以解法為主，許多數學題采用傳統的解題方式，不僅效率低下，且易錯概率增大，而逆向思維則可以輕易地達到目的，其中最具代表性的就是逆向運算.初中數學教科書中大部分公式、運算規則等都是正向思維，在學習時容易產生固定的思維方式，以致在解決某些數學問題時，出現模式化的解答，從而極大地制約了學生思考能力的發展，限制學生思維多元化發展.所以，在解題時，應著重于讓同學們用逆向思維法解答所遇到的問題，既能加深學生的思考深度，又能加強對數學知識的理解，為以后學習高難度的數學知識打下堅實的基礎.

1.2 可增進學生對數學概念的深刻認知

數學概念的講解與運用是初中數學課堂教學的重要內容之一，特別是運算法則和概念的剖析，正向思維會讓數學問題變得更抽象.因此，首先要利用逆向思維來講解，讓學生對概念和公式有更深刻的理解.

1.3 增進雙向思維的全面化培養

由于學生在學習數學時一直使用正向思維，導致許多學生在求解問題時產生了較強的思維慣性，不僅解題方式死板，解題效率也低.逆向思維的應用，可以有效調整解題方案，幫助學生更好地解決數學問題，同時還能使學生深入地研究數學問題.

2 初中數學解題教學中應用逆向思維的策略

2.1 逆向判斷數學理論定理

逆向判斷數學理論定理是初中數學中最常見，也是學生最容易接觸到的基礎的數學反推思維模式.由于數學的本質是一種抽象的概念，許多的數學問題都不能用直觀的方式來說明，因此，發展逆向思維可以幫助同學們更好地解決問題.同學們能從逆向的觀點來了解公式，并且可以避開那些難以應用的困難.打破傳統的思考方式，轉變學習方式，提高學生的創造性思考水平.

例如 初中數學人教版七年級下冊第五章“相交線與平行線”章節教學中，本章節的教學重點是相交線、平行線及其判定、平行線的性質和平移等.其中的難點是區分判定定理與性質定理.在教學過程中，首先要對平行線性質和判定定理進行理解和分析，掌握其中所表達的含義.對于平行線的性質常規思路：已知兩條線平行得知兩個夾角的關系.簡單地說就是由線定角的方式判定平行線.比如：如圖1，下列條件：（1）∠1=∠3；（2）∠2=∠4；（3）∠6=∠8；（4）其中能判定a平行于b的有幾個？

本題主要考查學生對平行線判定方法的掌握，同時也是鍛煉學生的逆向思維，與平行線性質完全相反.在本道題目講解中，應用逆向思維講解平行線的性質和判定差異后，學生就能完全掌握平行線的性質和判定.

2.2 逆向求解數學錯題難題

如果正向思維解題過于繁瑣，可以用逆向方法來解.逆向思維就是用一個未知數去解一個已知數，確認未知數與已知數是否一致，等問題被解決了，再把逆向思維變成正向思維求解.

例如 在初中數學人教版七年級下冊第三章“一元一次方程”教學中，為學生出一道題目；小明今年8歲，祖父今年62歲，年后，祖父的年齡是小明年齡的4倍.本題主要考查學生對一元一次方程知識的掌握，解題的關鍵是對題目的理解，常規解題思路是設x年后，祖父的年齡是小明年齡的4倍，所以小明的年齡為8+x，祖父的年齡是62+x，然后針對這兩個等式進行求解，最后得出10年后，祖父的年齡是小明年齡的4倍.本題的求解容易出錯，在這種情況下，教師可以引導學生將最后的答案帶入題目中，確認10+8=18，62+10=72，再確認72÷18是否等于4？這種逆向思維應用能夠在一定程度上避免學生計算出錯，還能幫助學生創新解題方法.

逆向思維可以使學生在最后的解題答案中判定解題是否正確，幫助學生及時發現問題.學生們都有從因到果的角度來解決問題，如果錯誤，那么本道題解題錯誤，所以果是否正確，需要學生在解題過程中謹慎求解.所以在初中數學教學中，要讓學生學會從果到因去驗證解題是否正確.通過這種方法，可以極大地減少學生的錯題率，并提高學生的逆向思維能力.通過反向思考，可以把注意力從解決問題的角度轉移到對數學思維訓練上，從而激發出對數學問題的好奇心和探索心，提高學生對數學的學習興趣.

2.3 逆向解決數學證明誤區

在解決證明問題時，有些學生會使用數學公式，以為自己的論證是對的，實際上證明過程中有許多錯誤.因此，教師可以讓學生在做證明題時充分發揮逆向思維的作用，采用“反證法”.

例如 如圖2，點D在△ABC外，∠BAC=90°，AB=AC，射線BD與△ABC的邊AC交于點H，AE⊥BD，垂足為E，∠ABD=∠ACD，

（1）若∠ABD=30°，CH=4，求DH的長；

（2）求證：BE=DC+DE.

在本題解答過程中，一定要找到可證明的點，不然則會出現意念證明，所謂的意念證明，就是默認為某個條件是正確的.因此，在對學生訓練過程中，必須要注重在證明過程中每個條件都是有理有據，有因有果.

解 （1）因為∠ABD=∠ACD=30°，∠AHB=∠DHC，

所以∠BAH=∠D，∠BAH=90°，∠D=90°，

所以△CDH是直角三角形，

因為∠ACD=30°，所以DH=12CH=12×4=2；

從已知條件證明出△CDH是直角三角形.

在整個證明過程中，雖然過程比較簡單，但是簡單并不能代表可以省略，特別是某個條件的省略.對于初中學生而言，證明題是一種思維上的挑戰，在證明過程中，必須要做到思維上縝密，不可忽略任何一個已知條件，同時還要積極挖掘出題目所提供的已知條件.即使再簡單的證明題，題目中所出現的條件，都會在接下來的證明過程中使用到，沒有一句話是形同虛設的，都有設題者的意圖.

在（2）的證明中，需要作輔助線，如圖3，作AF⊥CD，證明△ABE≌△ACF，再證明四邊形AEDF是正方形，因為DE=DF，所以BE=CF=DC+DF=DC+DE.

從上述實例可以看出，反證法是一種特殊的運算方法，它可以幫助同學們通過逆向思維來求解問題，使學生更好地填補他們的分析上的缺陷，增強學生思路的清晰性和思維的嚴謹性.

2.4 逆向運用數學公式和運算法則

初中數學中的許多公式和計算規則是可以雙向的，也就是可以逆轉的.所以在教學中，教師不但要教授他們如何使用這些公式和計算規則，還要讓他們記住這些公式和計算規則.在遇到問題時，可以用正反兩種方法來求解.教師要擅長在數學應用中發現一些有代表性的實例，使他們能夠應用逆向思維思考.

2.5 逆向運用數學公式和運算法則

在解決問題時，要積極思考，通過逆向思維來調整問題的位置，使學生更好地對知識進行二次學習和記憶.

例如 在初中數學八年級下冊第十八章“平行四邊形”教學中，首先要了解和掌握平行四邊形性質及判定方法，平行四邊形分為一般和特殊兩種，比如正方形是一種特殊的平行四邊形，正方形不僅是四條邊相等且平行，還具有矩形和菱形的全部特征.無論是在日常測驗中，還是在中考中，都少不了考查學生對正方形性質的了解.對于正方形知識點中存在的錯誤，要學會分門別類，不能一概而論.“正方形”這一小節知識點有很多，比如對正方形性質的理解，根據正方形性質求角度、線段長、求面積以及根據正方形性質與判定求角度、線段長、求面積等等.學生可以根據題意按照不同的知識點進行劃分，然后按照對應的知識點進行對比分析，從而總結出符合自己的解題技巧.

3 結語

總之，逆向思維是一種很好的學習數學的思維方法.數學的問題看似變化多端，其實都是一樣的，都可以追溯到教科書上的知識.在解決問題的過程中，概念可以幫助學生更好地了解和掌握知識.因此，在復習的時候，可以通過復習課本的內容來鞏固自己的知識，從而增強自己的記憶力.

逆向思維是新課標教學思想的一種有效的教學實踐，它在教學過程中的作用體現在現代教學效果的反饋上，因此，在教學方式和過程上，要進行持續的革新.針對學生反饋和課堂教學后的表現，適時作出相應的改變.把逆向思維這個概念融入到教師的課堂里，讓學生慢慢地學會用逆向思維來解決問題，提升學生的邏輯性和創造力，從而使其數學知識更上一層樓.

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