滲透模型思想 提高解題能力

摘 要：一次函數是刻畫變量之間關系的有效數學模型，現實生活中的許多問題都可以通過建立一次函數模型得以解決，一次函數的應用題已經滲透到日常生活的各個方面.依據近幾年中考試題，列舉了一次函數在解決經濟問題、購買問題、運輸問題、信息收費問題、水產品加工問題等方面的應用，提高學生利用一次函數模型解決實際問題的能力.

關鍵詞：初中數學；模型思想；一次函數；解題能力

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2023）20-0044-03

收稿日期：2023-04-15

作者簡介：周清波（1980.10-），男，福建省南安人，本科，一級教師，從事初中數學教學研究.[FQ）]

初中數學的教學目標是引導學生掌握基礎知識和基本技能，掌握數學思想方法，積累基本活動經驗，培養學生的數學核心素養，促使其更好地適應未來社會的發展需求.一次函數是初中數學教學的重點，在課堂教學中，教師需注重滲透模型思想，體現數學知識的應用意義與價值，讓學生學會構建數學模型，能夠站在數學的角度對問題進行思考與解決，從而提高學生應用數學知識分析問題和解決問題的能力.

1 模型思想概述

1.1 數學模型

數學模型是針對參照某種事物系統的特征或數量依存關系，采用數學語言，概括或近似地表述出的一種數學結構，這種數學結構是借助數學符號刻劃出來的某種系統的純關系結構.數學模型有著廣泛內涵，相關數學概念、公式、算法等都屬于數學模型范圍.由于初中生自身的認知水平、理解能力相對比較差，因此，在具體教學時，教師需注重數學模型的構建，也就是依據相關數字、字母或數學符號構建相應的關系式、代數式、方程式等數學模型.

1.2 模型思想

從數學產生與發展的角度作出的思考，則是數學思想.在數學知識學習時，呈現的思維特征也屬于數學思想.模型思想作為數學思想的重要組成部分，其主要指對實際問題進行描述時，所用到的數學概念及數學公理.在數學課堂教學中，教師

需注重培養學生的模型思想，促使學生深刻理解數學知識和其他事物的聯系.

2 在一次函數解題中滲透模型思想的策略

2.1 滲透模型思想，解決經濟問題

例1 已知有兩種理財產品供投資者選擇，第一種：中國銀行銷售一種五年期國債，其年利率是2.63%；第二種：中國人壽保險公司推出一種分紅型保險，投資者要上交10 000元（10份）保費，且保險期是5年，在五年以后，能獲得本息為10 486.60元，還能獲得紅利，但分紅金額并不是固定的.

（1）請寫出購買國債的金額x和五年以后銀行所支付的本息和y1之間的函數關系；

（2）求分紅型保險的年利率，并找出支付保費x和五年以后保險公司應支付的本息和y2之間的函數關系；

（3）請分析選擇哪種理財產品更合算.

解析 （1）依據題意可知，一年的年利率是2.63%，買國債花費了x元，即y1=（1+5×2.63%）x.

（2）設年利率是a，那么，a=10 486-10 00010 000×5=0.97%，即y2=（1+5×0.97%）x.

（3）兩種方法均投資10 000元，第一種：購買了五年的國債，y1=（1+5×2.63%）x＝（1+5×

2.63%）×10 000=11 315元；第二種：購買了五年的保險，y2=（1+5×0.97%）x＝（1+5×0.97%）×10 000=10 486.6元.兩者之間的差是y1-y2＝11 315-10 486.6＝828.4元，因此，當保險的分紅超過了828.4元的時候，買保險才能更有利.

2.2 滲透模型思想，解決購買問題

例2 某服裝廠要生產種領帶與西裝，且西裝的每一套定價是200元，每一條領帶的定價是40元，廠家進行促銷活動，提供給客戶兩種方案：

（1）購買一套西裝，送一條領帶；

（2）西裝與領帶都按照定價90%進行付款；

某個商店的老板需要到服裝廠買20套西裝，x（x＞20）條領帶，請你幫助老板選擇最優惠的購買方案，并說明理由.

解析 設第（1）種方案共付款y1元，第（2）種方案共付款y2元，則

y1=40x+3 200，y2=36x+3 600.

當y1＜y2時，即40x+3 200＜36x+3 600，又x＞20，所以20＜x＜100.即當20＜x＜100時，選擇第（1）種方案更加優惠；

當y1=y2時，即40x+3 200=36x+3 600，所以x=100.即當x=100時，第（1）種方案與第（2）種方案的一樣省錢；

當y1>y2時，即40x+3 200＞36x+3 600，所以x＞100.即當x＞100時，選擇第（2）種方案更加優惠.

若同時選擇（1）（2）兩種方案，想要獲得廠家贈送更多的領帶，則能設計出第（3）種方案，即先依據方案（1）買20套西裝，獲得20條贈送的領帶，剩余的（x-20）條領帶，再依據第（2）種方案進行購買，其花費為200×20＋（x-20）×40×90%＝（36x＋3 280）元.顯然，第（3）種方案比第（2）種方案更加優惠；第（3）種方案和第（1）種方案相比，當36x＋3 280＜40x＋3 200時，可求解出x＞20，即x＞20時，第（3）種方案比第（1）種方案更加優惠［1］.

2.3 滲透模型思想，解決運輸問題

例3 某果蔬公司需將不容易存放的水果由A市銷售至B市，現有三個運輸公司提供了相應的運輸方案，詳見表1.

因為W為x的一次函數，k＝180＞0，所以W隨著x的增大而逐漸增大.又因為x是整數，所以當x＝111時，其利潤最大，W最大＝180×111＋60 000＝79 980元.

綜上所述，通過以上實例可以發現，在對應用類問題解決時，其關鍵就是滲透模型思想，構建相應的一次函數模型，并通過自變量的取值范圍，求出相應的最值.這類問題與實際生活相貼近，更注重考查基礎知識以及基本技能，通過應用數學知識解決相關實際問題，能夠有效提高學生運用所學知識分析問題和解決問題的能力.

參考文獻

：［1］ 張金奎.“一次函數”解題錯誤類型與解決的對策分析［J］.現代中學生（初中版），2022（06）：45-46.

［2］ 王文玉.初中數學函數教學中滲透模型思想的研究：以“一次函數”為例［J］.中學數學，2022（04）：9-10.

［責任編輯：李 璟］