巧用數學思維 解答物理難題

摘 要：數理不分家，數學和物理是緊密相連的.在教學實踐中，學生遇到物理難題，若能用好數學思維，常常會提高解題效率.教師講授物理難題時，若能巧妙用數學思維來理清思路，也將大大提升學生解題水平.

關鍵詞：數學思維；初中物理；難題；解答

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2023）20-0074-03

收稿日期：2023-04-15

作者簡介：吳宗德（1974.9-），男，福建省連城人，本科，中學一級教師，從事初中物理教學研究.[FQ）]

在初中物理解題中經常應用的數學思維主要有：轉化思維、逆向思維、方程思維、極限思維、數形結合思維［1］.在物理教學實踐中，教師若能運用好上述常用數學思維，結合教學進度，做好應用示范，將提高學生的解題能力，增強學生解題自信.

1 轉化思維的應用

解答初中物理難題時若采用常規做法難度較大，過程較為繁瑣，可考慮轉化思維的應用，將看似復雜的過程進行合理等效，化繁為簡，以達到高效解題的目的.轉化思維對學生的思維能力要求較高，教學實踐中為使學生能夠跟上教學步伐，教師應預留空白時間，要求學生認真揣摩與反思，把握轉化本質，使其真正理解與掌握，體會轉化思維在解答物理難題

中的應用，增強運用轉化思維解題的意識.

“浮力”是初中物理的難點，對部分“浮力”問題而言采用常規方法作答，雖然能計算出最終答案，但是效率較低［2］.教學實踐中，教師可啟發學生依據阿基米德原理進行轉化，將物理問題轉化為數學問題，借助數學中的“比例”知識，迅速得出結果.

例1 如圖1，在水平面上放置一半徑為2R圓柱形薄壁容器.將密度為ρ，高為h，半徑為R的圓柱體木塊豎直放置在容器中，隨后向容器中注水.求使木塊豎直漂浮時向容器中注入水的最少質量. 圖1 木塊置于容器中.

假設向容器中注入水的高度為h′時，木塊剛好漂浮，此時其對容器底部的壓力為零，木塊受到的浮力和重力相等，由阿基米德原理可知木塊排開水的重力剛好為其自身重力.m水g=ρR2πhg，對應該部分水的質量m水=ρR2πh.木塊排開水的體積V排=R2πh′，將這部分體積看成水，則容器中可裝入水的體積為V=（2R）2πh′，則V/V排=4.表明實際上容器中的水為3份，1份水的質量為m水=ρR2πh，則至少需加入水的質量為3m水=3ρR2πh.如此通過轉化法解答該題，可減少復雜運算，提高解題效率.

2 逆向思維的應用

對于部分初中物理習題而言，大多數學生會想到正向思維，一步步地計算推理，效率并不高，而逆向思維則能節省不少時間.教學實踐中，教師應講解逆向思維并展示具體應用，認識應用逆向思維解題的必要性［3］.“電路故障的分析”是初中物理電學部分的熱門問題.分析該類問題的方法靈活多變，對于選擇題而言采用逆向思維，可迅速排除從而找到正確答案.

例2 如圖2，將燈泡L1和燈泡L2串聯（燈絲電阻保持不變）在電路中，其中L2的功率為4 W，且L1較L2亮，使用一段時間后L2燈突然熄滅，L1亮度增強，L1的功率為25 W，則L2出現的故障以及L2未熄滅之前，L1的電功率為（? ）.

A.短路，1 W?? B.短路，9 W

C.短路，16 WD.斷路，18 W

為盡快選出正確結果，可采用逆向思維從給出的選項逆推，排除不合理的選項.D項，L2斷路，L1熄滅，與題意不符排除.當L2的功率為4 W時，L1較L2亮，表明L1的電功率大于L2，大于4 W，排除A項.B項中L1的功率為9 W，設開始L1、L2的電壓分別為U1，U2，電阻分別為R1，R2，則有U21R1=9 W①，U22R2=4 W②，（U1+U2）2R1=25 W③，由①③可得U2=

2R1④，將④代入②得R1=R2，則電流相等時，兩燈泡功率相等亮度應該相同，與“L1較L2亮”不符，排除.綜上分析選擇C項.

3 方程思維的應用

方程思維是求解未知參數的重要思維.根據經驗，運用方程思維解答物理難題的關鍵點有兩個：設出合理參數和根據物理定律構建等式關系［4］.教學實踐中，為使學生掌握運用方程思維解題的技巧，教師引導學生具備列出多個方程的意識，借助方程求解出目標參數.

“比熱容”相關的計算是中考的重要考點.教學實踐中，為提高學生解題的靈活性，掌握運用方程思維解題的具體思路，教師應驅使學生主動思考，確定方程參數，構建物理方程.

例3 向盛有冷水的容器中倒入一杯熱水，冷水溫度升高10℃.繼續倒入一杯同樣質量和同樣溫度的熱水，容器水溫升高6℃.若此后連續向其中倒入5杯同樣的熱水，忽略熱量損失，則容器水溫會升高（? ）.

A.14℃? B.12℃? C.9℃? D.4℃

由題意可得倒入熱水后，熱水放出的熱量和冷水吸收的熱量相等，據此列出方程.

設熱水質量為m0，冷水質量為m，開始時熱冷水的溫差為t.向冷水中倒入第一杯熱水時：

cm0（t-10℃）=cm×10℃①；

倒入第二杯熱水后，有：

cm0（t-10℃-6℃）=c（m+m0）×6℃②；

同理，連續倒入5杯熱水，設容器水溫升高Δt，有：

5cm0（t-10℃-6℃-Δt）=c（m+2m0）×Δt③；

聯立①②得到：m=3m0，t=40℃.將這些數據代入到③解得Δt=12℃，選擇B項.

4 極限思維的應用

極限思維又稱極端思維，是向極端分析問題的一種思維.如將質量看作無窮大或無窮小就屬于極限思維［5］.

“杠桿”是初中物理中的重要知識點.對于部分“杠桿”類的問題，如采用常規做法，設出參數，列出方程，解題難度較大，而且也不一定得出正確結果.教學實踐中，教師應引導學生嘗試著使用極限思維分析問題，將看似復雜的問題直觀化、簡單化.

例4 如圖3所示，將質量均勻等體積實心物體甲、乙分別掛在輕質杠桿的A、B兩端，杠桿平衡.則（? ）.

A.兩物體切掉相等體積，杠桿右端下傾

B.兩物體切掉相等體積，杠桿仍保持平衡

C.兩物體切掉相等質量，杠桿左端下傾

D.兩物體切掉相等質量，杠桿仍保持平衡

該題如設出參數列出方程，計算非常繁瑣.為提高解題效率，解答該題應應用極限思維.因甲、乙體積相等，由圖可知甲的質量小于乙的質量.切掉相等體積，甲、乙質量同比例減小，杠桿仍平衡.切掉等質量時，假設將甲的質量全部去掉，乙還剩余部分質量，杠桿右側會下傾，綜上分析選擇B項.

5 數形結合思維的應用

運用數形結合思維分析問題主要分為兩類：根據題干描述畫出對應圖形，借助圖形將抽象、復雜的關系展現出來，更為高效地解題；從給出的圖形中挖掘隱含條件，將圖形與物理情境對應起來，尋找解題的蛛絲馬跡［6］.

“浮力”問題中，與圖形相關的問題難度一般較大，需學生自己構建圖形與物理情境之間的內在聯系.教學實踐中，教師應引導學生分析圖線為什么是這個形狀，拐點代表什么含義，幫助其找到解題切入點，運用數形結合思維解答物理難題.

例5 使用細繩將底面積為0.01 m2的長方體木塊拴在空容器底部.而后向容器中緩慢加水，直到水和木塊上表面持平.其中木塊底部受到水的壓強與注入水的深度圖像如圖4所示，忽略細線體積，g取10 N/kg，則（? ）.

A.細線的長度為7 cm

B.木塊重力為15 N

C.細線對木塊的最大拉力為6 N

D.木塊的密度為0.6×103 kg/m3

解答該題需數形結合，從給出的圖像中判斷出木塊的運動以及受力情況，理解圖線水平的原因是解題的突破口，課堂上教師應預留時間，要求學生認真揣摩.剛開始加水長方體木塊底部受到的壓強逐漸增大.當木塊浮起但細繩未拉直前，隨著水的加入其受到的浮力和重力相等，底部受到的壓強不變.當細繩拉直后加水，底部受到的壓強增大，水的深度10～17 cm對應繩子被逐漸拉直的過程，因此，繩長為17 cm-10 cm=7 cm；細繩拉直期間木塊漂浮，木塊受到的浮力和其重力相等，G=F浮=pS=

1 000 pa×0.01m2=10 N；當h=23 cm時，細繩受到的拉力最大，此時，木塊重力和細繩拉力的合力與木塊受到的浮力平衡，由F+G=F′浮，而F′浮=p1S1=1 600 pa×0.01 m2=16 N；則F=16 N-10 N=6 N；由圖可得木塊的高度為h木=23 cm-7 cm=16 cm，則V=Sh木=0.01 m2×16×10-2m=1.6×10-3m3，則ρ=GgV=0.625×103 kg/m3.綜上分析選擇AC.

綜上所述，在初中物理教學中，教師應將數學思維滲透至物理知識講解中，尤其為提高學生的物理解題能力，應做好習題的篩選，逐一展示不同數學思維在初中物理解題中的應用，讓學生真正理解并吃透不同數學思維在物理解題中的應用，促進其物理解題水平的進一步提升.

參考文獻：［1］ 張傳啟.數學思維在初中物理解題中的運用［J］.理科愛好者（教育教學），2021（06）：64-65.

［2］ 徐璇璇.數學思維在初中物理解題中的方法探析［J］.數理化解題研究，2021（26）：86-87.

［3］ 金冠鋒.數學思想在初中物理教學中的應用［J］.天津教育，2020（15）：109-110.

［4］ 施慧.談初中物理與數學的有效整合［J］.中學生數理化（教與學），2020（05）：67.

［5］ 陳明蘭.數學思維方法在初中物理教學中的應用方法芻議［J］.高考，2019（12）：49.

［6］ 車秀麗.例談用數學思維巧解初中物理試題［J］.中學物理教學參考，2017，46（18）：36-37.

［責任編輯：李 璟］