辨析導(dǎo)數(shù)中的“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”

林成國(guó)

(山東省菏澤市定陶區(qū)第一中學(xué))

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容,是求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值以及零點(diǎn)問(wèn)題的重要工具,學(xué)生在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決問(wèn)題時(shí),常常會(huì)因?yàn)檫z漏函數(shù)的定義域、忽視隱含信息,以及對(duì)一些性質(zhì)、定理的充分必要條件理解不清楚而造成錯(cuò)解.本文就導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中這些常見(jiàn)誤區(qū)舉例剖析,并提出警示,避免同類錯(cuò)誤再次發(fā)生.

1 對(duì)函數(shù)的定義域考慮不全面

2 誤判導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)極值點(diǎn)的關(guān)系

例2函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且x0∈R,則“f′(x0)＝0”是“x＝x0為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)”的( ).

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

錯(cuò)解因?qū)?dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)極值點(diǎn)的關(guān)系不清楚而錯(cuò)選A,B或C.

辨析導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是使導(dǎo)數(shù)值為零的x值;極值點(diǎn)是函數(shù)取得極值的x值.若在導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值異號(hào),則該點(diǎn)也是函數(shù)的極值點(diǎn),否則不是極值點(diǎn).例如,f(x)＝x3,x＝0是其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),但不是極值點(diǎn).反之,x＝x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),但f(x)在x＝x0不一定可導(dǎo),例如,f(x)＝|x|,x＝0為其極值點(diǎn),但f(x)＝|x|在x＝0處不可導(dǎo),所以“f′(x0)＝0”是“x＝x0為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)”的既不充分也不必要條件,故選D.

3 混淆函數(shù)的極值與最值的關(guān)系

4 片面地理解曲線的切線問(wèn)題

例4曲線f(x)＝x3－2x過(guò)點(diǎn)(1,－1)的切線方程為_(kāi)______.

錯(cuò)解經(jīng)檢驗(yàn),點(diǎn)(1,－1)在曲線f(x)＝x3－2x上,對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得f′(x)＝3x2－2,所以切線的斜率k＝f′(1)＝3－2＝1,故過(guò)點(diǎn)(1,－1)的切線方程為y＋1＝x－1,即x－y－2＝0.

辨析曲線的切線問(wèn)題有三種情況:第一種,所給的點(diǎn)為切點(diǎn),求曲線“在”該點(diǎn)的切線方程,則該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值即為切線的斜率;第二種,已知點(diǎn)在曲線上,求曲線“過(guò)”該點(diǎn)的切線方程,則該點(diǎn)可能是切點(diǎn),也可能不是切點(diǎn).第三種,已知點(diǎn)在曲線外,切線過(guò)該點(diǎn).

本題屬于第二種類型,正確的求法如下.

設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,m3－2m),對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得f′(x)＝3x2－2,則切線的斜率k＝f′(m)＝3m2－2,故切線方程為y－(m3－2m)＝(3m2－2)(x－m).

又切線過(guò)點(diǎn)(1,－1),所以

5 忽視函數(shù)增減與導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系

例5若函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋2 在區(qū)間[1,＋∞)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.

6 誤用形的關(guān)系代替解析過(guò)程

例6已知f(x)＝xln(x＋1)－ax2.討論函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

錯(cuò)解函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1,＋∞),易知x＝0為函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn).由xln(x＋1)－ax2＝0,得x[ln(x＋1)－ax]＝0,接下來(lái)只要討論g(x)＝ln(x＋1)－ax在(－1,＋∞)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

由ln(x＋1)－ax＝0,得ln(x＋1)＝ax,因此只需判斷h(x)＝ln(x＋1)與y＝ax圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

對(duì)h(x)＝ln(x＋1)求導(dǎo)得h′(0)＝1,所以曲線h(x)在(0,0)處的切線斜率為1,切線方程為y＝x.

如圖1所示,當(dāng)a≤0或a＝1時(shí),h(x)＝ln(x＋1)與y＝ax只有一個(gè)交點(diǎn)(0,0),則g(x)只有一個(gè)零點(diǎn),即f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).

圖1

當(dāng)a＞1或0＜a＜1時(shí),h(x)＝ln(x＋1)與y＝ax有兩個(gè)交點(diǎn),且其中一個(gè)為(0,0),所以g(x)有兩個(gè)零點(diǎn),即f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

辨析對(duì)于解答題,同學(xué)們不僅要計(jì)算出最后的結(jié)論,還得寫出關(guān)鍵語(yǔ)句、主要步驟,提供嚴(yán)謹(jǐn)合理的說(shuō)明,特別是在解題過(guò)程中不能出現(xiàn)以形代數(shù)的情況,即不能用圖形關(guān)系來(lái)代替解析過(guò)程.

(完)