探究若干抽象函數(shù)模型

阿麗米熱·艾尼

(新疆實驗中學)

抽象函數(shù)問題具有構思新穎、概念抽象、隱蔽性強、解法靈活多變等特點,是考查學生推理論證能力、閱讀理解能力以及抽象思維能力的有效載體,因而備受高考命題專家們的青睞.所謂抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式的特殊函數(shù),它們的類型繁多、題型各異,其中有一類是比較多見的,即題中給出了特定的解析遞推式和運算規(guī)則,通過類比初等函數(shù),一般可以找到滿足其條件的特殊模型.我們可以根據(jù)這個模型具有的性質,探求題目中抽象函數(shù)的有關性質,這樣就容易找到解決問題的突破點.下面通過對幾道典型例題的分析,介紹幾個含有解析遞推式的抽象函數(shù)的類型及其模型,供讀者參考.

1 特征式f(x+y)=f(x)+f(y)+b

例1已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,y都滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y),且當x＞0 時,f(x)＜0,f(1)＝－2,求f(x)在區(qū)間[－3,3]上的最小值和最大值.

分析由于函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y),容易知道函數(shù)f(x)＝kx(k≠0)滿足此式,故而可猜測f(x)是單調函數(shù).

解設x1＜x2,則x2－x1＞0,所 以f(x2－x1)＜0,于是f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)＜f(x1),故函數(shù)f(x)在[－3,3]上單調遞減.

令x＝y(tǒng)＝0,則f(0)＝0,再令y＝－x,則0＝f(0)＝f(x)＋f(－x),即f(－x)＝－f(x),所以f(x)是奇函數(shù).由于f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝－6,則f(－3)＝－f(3)＝6,所以f(x)在[－3,3]上的最小值是－6,最大值是6.

點評

如果認識了此抽象函數(shù)的基本類型,那么后續(xù)的解題就有了方向,可以設法模仿或接近某個結論并為之而努力,本題涉及正比例函數(shù)模型,因此需要判斷此函數(shù)的單調性和奇偶性,為后續(xù)解題做好準備.

2 特征式f(x+y)=f(x)f(y)

例2設函數(shù)f(x)的定義域是R,對任意實數(shù)x,y均有f(x＋y)＝f(x)f(y),且當x＞0時,0＜f(x)＜1,試判斷函數(shù)f(x)在R上的單調性,并求不等式f(x－2)＜f(x2－2x)的解集.

分析因為所給函數(shù)滿足f(x＋y)＝f(x)·f(y),而指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax滿足這個表達式,所以可探求函數(shù)f(x)是否具有單調性,用單調函數(shù)的定義推理判定比較方便.

點評

從給出的抽象函數(shù)的運算規(guī)則,可知此類函數(shù)與指數(shù)函數(shù)相似,故而可設法證明此函數(shù)是單調的,且函數(shù)值恒為正數(shù),有了這個提示,就為后面判斷f(x1)－f(x2)的正負情況指明了方向.

3 特征式f(xy)=f(x)+f(y)(x＞0，y＞0)

例3已知定義在(0,＋∞)上的函數(shù)f(x),對任意x,y∈(0,＋∞)都有f(xy)＝f(x)＋f(y)成立,且當x＞1 時,f(x)＞0,又f(2)＝1,試問方程f(x)＝3cosx有幾個解?

分析由于函數(shù)f(x)滿足f(xy)＝f(x)＋f(y),而對數(shù)函數(shù)f(x)＝logax(a＞0,a≠1)也有相似的性質.由于對數(shù)函數(shù)一般是單調函數(shù),故應從判斷函數(shù)的單調性入手,再分析函數(shù)圖像并通過估算求解.

由于2π＜8＜4π,所以f(2π)＜f(8)＜f(4π),又3cos2π＝3cos4π＝3,通過畫y＝f(x)與y＝3cosx的草圖,如圖1所示,易知兩個函數(shù)圖像有三個交點,即方程f(x)＝3cosx有三個解.

圖1

點評

欲判斷此方程解的個數(shù),即要找到函數(shù)y＝f(x)與y＝3cosx的圖像交點的個數(shù),故應依據(jù)定義判斷所給函數(shù)的單調性,并通過估算出幾個關鍵函數(shù)值所在的范圍進行判斷.

4 特征式f(xy)=f(x)f(y)

例4設定義在(0,＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足f(xy)＝f(x)f(y),f(x)＞0,且 當x＞1 時,f(x)＞1,又f(2)＝試求不等式f(x2－3x)＞2的解.

分析由于函數(shù)f(x)滿足f(xy)＝f(x)·f(y),容易知道冪函數(shù)f(x)＝xα滿足此運算規(guī)則,不同的冪函數(shù)含有不同的單調性,而題設是求解抽象函數(shù)不等式,故需要知道此函數(shù)的單調性.

點評

判斷出一個抽象函數(shù)的單調性是“脫去”函數(shù)符號“f”的最有效的方法,而本題在函數(shù)單調性的證明過程中,根據(jù)定義并對所給條件進行了配湊,這是一個重要技巧,故而要把握好配湊的常用方法.

5 特征式f(x+y)=

點評

在對給出的解析遞推式進行研究后,判斷出此函數(shù)與反比例函數(shù)類似,這樣就獲得了此函數(shù)應為奇函數(shù)的信息,進而只需努力證明此函數(shù)為奇函數(shù).

6 特征式f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)

例6已知函數(shù)f(x)的定義域為R,對任意x,y都滿足f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y),并且f(1)＝0,f(－2)＝2,f(0)≠0,試求f(2022)的值.

分析由題意很難發(fā)現(xiàn)f(x)的性質,在觀察給出的解析遞推式后,可聯(lián)想到三角公式,發(fā)現(xiàn)f(x)＝cosx滿足f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y),由此猜想出f(x)是偶函數(shù),且為周期函數(shù).

解在f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)中,令x＝y(tǒng)＝0,得2f(0)＝2f2(0),又f(0)≠0,所以f(0)＝1;再令x＝0,則

可得f(－y)＝f(y),故f(x)為偶函數(shù).

又f(1)＝0,所以

即f(x＋2)＝－f(x),所以

故f(x)是以4為周期的函數(shù),于是

點評

通過用比較熟悉的函數(shù)模型猜想得出f(x)的某些性質,然后再有針對性地推理證明,就能夠得出正確的判斷,從而使解題少走彎路,而采用特殊值代入驗證是求解抽象函數(shù)問題的常用技巧.

所以f(x2)＞f(x1),即f(x)在(0,2)上單調遞增.又當x∈(－2,0)時,根據(jù)奇函數(shù)的性質,易知f(x)單調遞增,故函數(shù)f(x)在(－2,2)上單調遞增.

點評

通過認真研究給出的解析遞推式,并由此判斷出函數(shù)的模型特征,從而根據(jù)模型的性質,容易想到解決問題的方法.

在某些含有解析遞推式的抽象函數(shù)問題中,尋找出對應的常規(guī)函數(shù)模型是一種重要的解題技巧,因為我們可以結合該常規(guī)函數(shù)模型進一步猜測出抽象函數(shù)的基本性質,并且根據(jù)解題的需要,對此函數(shù)的相關性質進行推理證明.特別需要注意的是,所找出的模型函數(shù)只是輔助我們解題,我們不可以直接應用該模型函數(shù)的圖像和性質解題,否則是會失分的.

鏈接練習

1.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1,時,f(x)＜0,若an＝f(n)(n∈N*),求數(shù)列的前10項和.

2.設定義在實數(shù)集的函數(shù)f(x),對任意實數(shù)x,y滿足f(x＋y)＝f(x)f(y),且當x＞0 時,f(x)＞1,若f(x)f(2xx2)＞1,求x的取值范圍.

3.已知偶函數(shù)f(x),其定義域為(－∞,0)∪(0,＋∞),對于定義域內的任意實數(shù)x,y,滿足f(xy)＝f(x)＋f(y),且當x＞0時,f(x)＞0,f(2)＝1,f(2x2－1)＜2,求x的取值范圍.

4.已知函數(shù)f(x),對任意實數(shù)x,y都滿足f(xy)＝f(x)f(y),且f(－1)＝1,f(27)＝9,當0≤x＜1時,f(x)∈[0,1).若x≥0且,求x的取值范圍.

鏈接練習參考答案

1.－100.

2.{x|0＜x＜3}.

4.{x|0≤x≤2}.

(完)