數學文化試題賞析

張圣茹 龔衛東(正高級教師 特級教師)

(1.北京師范大學樂育書院 2.深圳市高級中學)

《普通高中數學課程標準(2017 年版2020 年修訂)》中強調要將數學文化融入日常教學中,它明確指出,數學文化不僅包括數學的思想、精神、語言、方法、觀點,以及它們的形成與發展,還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻與意義,以及與數學相關的人文活動.在命題上,以數學文化為背景不僅能拓寬學生的眼界,使學生了解數學與生活的密切聯系,也能綜合考查與提高學生的閱讀理解能力、核心素養.因此,以此為背景的高考題目也越來越多,本文以幾道數學文化試題為例,談談相關解題策略.

1 立體幾何

例1(2020年全國Ⅰ卷理3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一,它的形狀可視為一個正四棱錐(如圖1).以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積,則其側面三角形底邊上的高與底邊正方形的邊長的比值為( ).

圖1

圖2

點評

本題將立體幾何與代數通過人類智慧結晶——金字塔進行巧妙地結合,考查學生根據題目要求設未知量以及求解運算能力,涉及邏輯推理、數學建模、數學運算以及直觀想象核心素養.

2 平面幾何

例2(2021年全國乙卷理9)魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經》是關于測量的數學著作,其中第一題是測量海島的高.如圖3所示,點E,H,G在水平線AC上,DE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度,稱為“表高”,EG稱為“表距”,GC和EH都稱為“表目距”,GC與EH的差稱為“表目距的差”,則海島的高AB＝( ).

圖3

解析

本題將空間中的測量問題轉化為平面幾何中的長度關系問題.

將圖3 抽象成圖4,連接FD交AB于M,則AB＝MB＋AM.

圖4

點評

《海島算經》為數學著作《九章算術注》中的一卷,《九章算術注》共十卷,全都為數學知識在實地測量中的應用.此題以此為背景,考查三角形相似、三角函數以及平面中三角形各邊表示及其關系.涉及新課標中數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算與直觀想象核心素養.

3 等差數列

例3(2020年全國Ⅱ卷理4)如圖5所示,北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所,分上、中、下三層,上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石),環繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環,向外每環依次增加9塊,下一層的第一環比上一層的最后一環多9塊,向外每環依次也增加9塊,已知每層環數相同,且下層比中層多729塊,則三層共有扇面形石板(不含天心石)( ).

圖5

A.3699塊 B.3474塊

C.3402塊 D.3339塊

解析

根據題意,可知天壇三層由內到外每環的扇面形石板塊數構成首項為9、公差為9的等差數列,設第n環的扇面形石板數目為an,Sn為{an}的前n項和,設每層都有n環,則

解得n＝9,從而S3n＝S27＝3402,故選C.

點評

本題以貼近生活的情境為背景,考查學生對等差數列的通項公式等基本知識的掌握情況,反映了我國古代的建筑成就,有利于激發學生對中華優秀傳統文化的熱愛之情,使學生領悟到數學之美.

4 等差與等比數列結合

例4(2021年全國Ⅰ卷16)某校學生在研究民間剪紙藝術時,發現剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.規格為20dm×12dm 的長方形紙,對折1次共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm 兩種規格的圖形,它們的面積之和S1＝240dm2,對折2次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm三種規格的圖形,它們的面積之和S2＝180dm2,以此類推,則對折4次共可以得到不同規格圖形的種數為__________;如果對折n 次,那么

解析

本題以剪紙中的圖形面積變換為背景,通過構建數列求解.根據題意,對折4次可以得到五種規格的圖形,通過數學歸納法,可知對折n次可得到(n＋1)種不同規格的圖形,每種規格圖形的面積均為dm2,它們的面積之和為因此

點評

中國剪紙作為非物質文化遺產,是中國文化的重要組成部分,剪紙過程中利用到的技法是數學知識的具象化.本題考查數列求和的知識點,使學生更深入了解中華優秀傳統文化,體會數學在生活中的應用.

5 變式鞏固

練習1如圖6所示,唐金筐寶鈿團花紋金杯出土于西安,這件金杯整體造型具有玲瓏剔透之美,充分體現唐代金銀器制作的高超技藝,是唐代金銀細工的典范之作.該杯主體部分的軸截面可以近似看作雙曲線C的一部分,若C的中心在原點,焦點在x軸上,離心率e＝2,且點在C上,則雙曲線C的標準方程為( ).

圖6

答案B.

練習2《算法統宗》是中國古代數學名著,由明代數學家程大位編著,它對中國民間普及珠算和數學知識起到了很大的作用.在這部著作中,許多數學問題都是以歌訣形式呈現的,如“九兒問甲歌”就是其中一首:一個公公九個兒,若問生年總不知,自長排來差三歲,共年二百又零七,借問長兒多少歲,各兒歲數要詳推.在這個問題中,記這位公公的第n個兒子的年齡為an,則a3＝( ).

A.14 B.18 C.29 D.32

答案C.

6 小結

每道題目考查的知識點并不單一,凸顯出數學核心素養考查的多元化.以數學文化為命題背景的試題難度多為中下,多出現于選擇題或填空題,涉及數學史、數學與科技、數學與人文、數學與藝術、數學與生活等多個方面,具有經典性、時代性、創新性等特點.

就幾何和數列而言,中國古代的《張丘建算經》中涉及的等差數列各元素互求,《九章算術注》中出現的眾多測量計算以及圖形變換,西方歐幾里得的《幾何原本》中展現出歐氏平面諸多定理的強大,都對學生了解數學思想史,感悟數學的發現過程與現實應用有一定幫助.

無論數學文化題目的背景如何改變,高考數學對學生數學知識與能力以及數學核心素養的考查總目標不變,在實際教學中,教師應注意“情境設定”,讓學生經歷完整的知識構建以及建模過程,領悟數學的本質,促進學生學科核心素養的發展,將知識與文化、科技等融合,發揮育人作用.

(完)