一道創新性多選題的解法探究及高考溯源

王東海 王 晶

(1.安徽省合肥市肥東縣城關中學 2.安徽財經大學會計學院)

2023年3月中學生標準學術能力測試數學第12題極具綜合性和創新性,且其題干簡潔,沒有繁冗的文字,學生易想到使用數形結合法去處理.但此題融入了眾多數學思想與方法的考查,對學生數學核心素養應用水平和關鍵能力有較高要求,因而正確求解并非易事.也正因如此,本題的得分率較低.同時,就筆者所進行的調查結果而言,本題的區分度好,不失為一道比較成功的多項選擇題.

1 考題呈現

分析這道多選題考查了橢圓、點到直線距離等相關知識,檢驗了學生分析問題、解決問題的能力,除了運用常規的數形結合思想方法求解外,可以通過設而不求用根與系數的關系求解,也可以利用三角換元知識處理,還可以運用仿射變換巧妙破解.試題設計精巧、內涵豐富,是一道有探究價值的好題.

2 解法探究

視角1四個選項都可以看成P(x1,y1),Q(x2,y2)兩點到同一條直線的距離之和的倍數的最值,而對于x1x2＋9y1y2＝－2,可使用常規的根與系數的關系去處理.

3 追本溯源

3.1 教材溯源

2023年中學生標準學術能力測試第12題是一道對思維能力有較高要求的好題,但它也不是無本之源,而是與教材有著緊密的聯系,正是貫徹了高考命題源于教材、高于教材的理念.上述四種方法中方法4相對運算量較小,即利用仿射變換將橢圓變換成圓使求解更容易.事實上仿射變換實現橢圓和圓之間的轉化現行教材早有滲透,它來源于人教A 版數學《選擇性必修1》第108頁例2:

如圖1所示,在圓x2＋y2＝4 上任取一點P,過點P作x軸的垂線段PD,D為垂足.當點P在圓上運動時,線段PD的中點M的軌跡是什么? 為什么?

圖1

之后教材還進一步給出一個思考:由例2我們發現,可以由圓通過“壓縮”得到橢圓.你能由圓通過“拉伸”得到橢圓嗎? 如何“拉伸”? 由此你能發現橢圓與圓之間的關系嗎?

平時教學中只要將此例稍微引申一下即可理解仿射變換.另外,當問題轉化為橢圓x2＋9y2＝1上的點到直線2x＋3y－3＝0和x－3y＋5＝0的距離的最值后,就成為教材中熟悉的題目,見人教A 版數學《選擇性必修1》第116頁習題13:

(1)它到直線l的距離最小? 最小距離是多少?

(2)它到直線l的距離最大? 最大距離是多少?

因此,筆者重視對課本例題與習題的挖掘,尤其是對教材中那些蘊含豐富的數學思想、開闊的思路的例題與習題的挖掘,針對這些好題,挖掘其中的數學背景,剖析背后的數學本質,感悟試題設計所蘊含的數學思想等,為高考打好基礎.

3.2 高考溯源

4 一般性結論

5 結論應用

(完)